二、季节ARMA项对于带有季节因素的季度数据，BoxandJenkins(1976)建议使用季节自回归SAR和季节动平均SMA。SAR(p)定义为带有p阶滞后的季节自回归项。估计中使用的滞后多项式是AR项和SAR项定义的结合。与此类似，SMA(q)定义为带有q阶滞后的季节动平均。估计中使用的滞后多项式是MA项和SMA项定义的结合。存在SAR项则允许建立一个滞后多项式。例如：没有季节项的2阶AR过程ut??1ut?1??2ut?2??t用滞后算子L,Lxt?xt?n，则上式可表示为：n(1??1L??2L)ut??t可以通过回归自变量的ar(1)，ar(2)项来估计这个过程。332对于季度数据，可以加入sar(4)来表示季节因素，定义方程：ycxar(1)ar(2)sar(4)估计误差结构为：(1??1L??2L)(1??L)ut??t等价于24ut??1ut?1??2ut?2??ut?4???1ut?5???2ut?6??t参数?和季节因素相联系。注意：这是对系数有非线性约束的AR(6)模型。在另一个例子中，无季节性的二阶MA过程如下ut??t??1?t?1??2?t?2,可以通过包含ma(1)和ma(2)来估计二阶MA过程。34对季度数据，可以添加sma(4)考虑季节性。例如定义方程：ycxma(1)ma(2)sma(4)估计模型为：yt??1??2xt?utut?(1??1L??2L)(1??L)?t等价于：24ut??t??1?t?1??2?t?2???t?4???1?t?5???2?t?6参数?和季节因素相联系。这是对系数有非线性约束的MA(6)模型。还可以在方程说明中同时包括SAR，SMA项。35§15.5.3ARIMA估计的输出含有AR或MA项的模型的估计输出和OLS模型一样，只是在底部增加了一个AR，MA多项式的根的倒数。如果我们利用滞后多项式?(L)和?(L)写一般的ARMA模型：?(L)ut??(L)?t?1输出表中报告的结果相当于下列多项式?(x)?0显示警告信息。和?(x)?0?1的根。这些根（可能是虚根）的模应小于1，如果不满足这个条件，输出表中将如果?有绝对值大于1的实根或一对复根的逆在单位圆外（即模大于1），这意味着自回归过程是发散的。如果?的根的倒数在单位圆外，说明MA过程是不可逆的，应使用不同的初值重新估计模型，直到得到满足可逆性的动平均。如果估计的MA模型的根的模接近于1，有可能是对数据差分过多，这就很难估计和预测。如果可能的话，应减少差分阶数重新估计。36
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