2018年高考模拟试卷数学卷

2018年高考模拟试卷数学卷

当f′(x)>0时，解得－1

∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增， …………4分 ∴f(x)min＝f(1)＝f(－1)＝2，f(x)max＝f(0)＝2， …………7分 ∴函数f(x)的值域为[2，2]．

12

(2)证明：设h(x)＝1－x＋1＋x＋x－2，x∈[0,1]，h(0)＝0，

411111

∵h′(x)＝－(1－x)－＋(1＋x)－＋x

222221?

＝x?1－2

2?1－x2

??，10分

1＋x＋1－x?

2

2

2

∵1－x(1＋x＋1－x)＝1－x·2＋21－x≤2， ∴h′(x)≤0.

∴h(x)在(0,1)上单调递减， 又h(0)＝0，∴h(x)≤h(0)＝0， 12

∴f(x)≤2－x.

4

21.（15分）

2y2x 解：(1)连接AC,依题意设椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0),在Rt△ABC中,AB=4,BC=3,∴ab …………13分

…………15分

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AC=5.

∴CA+CB=5+3=2a,即a=4.

又

2c=4,∴c=2,从而b?a2?c2?23. ∴椭圆的标准方程为

2x2?y?1. …………5分 1612

(2)由题意知,当直线l与x轴垂直时,不满足|ME|=|NE|,当直线l与x轴平行时,|ME|=|NE|显然成立,此时k=0.当直线l的斜率存在,且不等于零时, 设直线l的方程为y?kx?m(k?0)?

?y?kx?m??由 ?2y2 消去y得

x??1???1612(3?4k2)x2?8kmx?4m2?48?0?

∵

??64k2m2?4(3?4k2)(4m2?48)?0?① …………9分

∴

16k2?12?m2?

令M(x1?y1)?N(x2?y2)?MN的中点为F(x0?y0)? 则x0?x1?x2??4km2?y0?kx0?m?3m2? 23?4k3?4k3m?123?4k?k??1? 化简得m??(4k2?3)? …∵|ME|=|NE|,∴EF?MN.∴kEF?k??1? 即

?4km3?4k212分

22242结合①得16k?12?(4k?3)?即16k?8k?3?0? 解之,得?1?k?1(k?0).

22综上所述,存在满足条件的直线l,且其斜率k的取值范围为(?1?1). …………

2215分

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22.（15分）

1

证明 (1)∵an＋1·an＝， ①

n∴an＋2·an＋1＝

1

， ② n＋1

…………2分

而a1＝1，易得an>0， 由②÷①得∴

an＋2·an＋1an＋2n＝＝，

an＋1·anann＋1

…………5分

an＋2an＝. nn＋1

(2)由(1)得(n＋1)an＋2＝nan，

111111∴＋＋…＋＝＋＋…＋. …………7分 2a33a4n＋1an＋2a12a2nan令bn＝nan，

则bn·bn＋1＝nan·(n＋1)an＋1＝

n·n＋1

＝n＋1， ③ n∴当n≥2时，bn－1·bn＝n， ④ 由b1＝a1＝1，b2＝2，易得bn>0， 1

由③－④得＝bn＋1－bn－1(n≥2)．

bn∴b1

a12a2nanb1b2bn1

＝＋(b3－b1)＋(b4－b2)＋…＋(bn－bn－2)＋(bn＋1－bn－1)

b1b1

1

＝＋bn＋bn＋1－b1－b2＝bn＋bn＋1－2.

…………12分

一方面，bn＋bn＋1－2≥2bnbn＋1－2＝2(n＋1－1)， 另一方面，由1≤bn≤n可知bn＋bn＋1－2＝bn＋

?n＋1?n＋1

－2?＝－2≤max?1＋n＋1－2，n＋nbn??

n. ……15分

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