第3章 振动与波
3-12．已知一沿x正方向传播的平面余弦波，t?1s时的波形如图所示，且周期T为2s。 3（1）写出O点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）写出A点的振动表达式； （4）写出A点离O点的距离。
解：由图可知：A?0.1m，??0.4m，而T?2s，则：
u??/?T0， .ms??2?T??，k?2???5?，∴波动方程为：y?0.1cos(?t?5?x??0) O点的振动方程可写成：yO?0.1cos(?t??0)
由图形可知：t?13s时：y0.05，有：0.05?0.1cos(?O?3??0)
考虑到此时dyO?dt?0，∴??5?03，
3（舍去） 那么：（1）O点的振动表达式：y?O?0.1cos(?t?3)；
（2）波动方程为：y?0.1cos(?t?5?x??3)；
（3）设A点的振动表达式为：yA?0.1cos(?t??A)
由图形可知：t?13s时：y?0，有：cos(?A3??A)?0 考虑到此时dyA5?dt?0，∴?A??6（或?7?A?6） ∴A点的振动表达式：y5?A?0.1cos(?t?6)，或y?0.1cos(?t?7?A6)； （4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程为：
y?A?0.1cos(?t?5?xA?3)，与（3）求得的A点的振动表达式比较，有：
?t?5??76??t?5?xA?3，所以：xA?30?0.233m 。
3-13．一平面简谐波以速度u?0.8m/s沿x轴负方向传播。知原点的振动曲线如图所示。试写出：
（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式；
（3）同一时刻相距1m的两点之间的位相差。 解：这是一个振动 图像！
由图可知A=0.5cm，设原点处的振动方程为：y?3O?5?10cos(?t??0)。 （1）当t?0时，y3Ot?0?2.5?10?，考虑到：
dyOdtt?0?0，有：?0???3，
当t?1时，yOt?1?0，考虑到：
dyOdtt?1?0，有：???3??2，??5?6， 已
∴原点的振动表达式：yO?5?10cos(?35??t?)； 63?35??t?kx?) 63?5?124?5?24???3??t?x?)； 而k??，∴y?5?10cos(u60.8256253?x25?k?x???3.27rad 。 （3）位相差：???2??24（2）沿x轴负方向传播，设波动表达式：y?5?10cos(第4章 平衡态与分子热运动的统计规律
4-3．如图所示，两容器的体积相同，装有相同质量的氮气和氧气。用一内壁光滑的水平细
玻璃管相通，管的正中间有一小滴水银。要保持水银滴在管的正中间，并维持氧气温度比氮气温度高30oC，则氮气的温度应是多少？
解：已知氮气和氧气质量相同，水银滴停留在管的正中央，
N2O2则体积和压强相同，如图。 由：pV?mOmN2mRT， RT，有：2R(T?30)?MmolMO2MN230?28?210K
30?28而：MO2?0.032kg，MN2?0.028kg，可得：T?4-6．一容器内储有氧气，其压强p?1.0atm，温度T?300K，求容器内氧气的
（1）分子数密度；
（2）分子间的平均距离； （3）分子的平均平动动能； （4）分子的方均根速度。 解：（1）由气体状态方程p?nkT得：
p1.013?105n???2.45?1025/m3； ?23kT1.38?10?300（2）分子间的平均距离可近似计算：e?11?9??3.44?10m； 3325n2.45?10（3）分子的平均平动动能：??33kT??1.38?10?23?300?6.21?10?21J； 22（4）分子的方均根速度：v2?1.7310RT?482.87m?s?1 。 Mmol4-9．大量粒子（N0?7.2?10个）的速率分布函数图象如图所示，试求：（1）速率小于30m/s的分子数约为多少？（2）速率处在99m/s到101m/s之间的分子数约为多少？（3）所有N0个粒子的平均速率为多少？（4）速率大于60m/s的那些分子的平均速率为多少？ 解：根据图像信息，注意到f(v)?dN。 Ndv图形所围的面积为分子的全部数目，有：
N0?1，所以，利用 ?N014（30?120）?a?1，有：a??10?2，N0a?9.6?108。 23N10（1）速率小于30m/s的分子数：N1?0?30?a?1.44?10个；
2（2）速率处在99m/s到101m/s之间的分子数：
101101v?N2?N0?f(v)dv?N0?(2a?a)dv?6.4?108个；
999960v1005a)(v101?v99)?2N0a(2?)?6.4?108】 【或：?N2?N0(2a?603（3）所有N0个粒子的平均速率：先写出这个分段函数的表达式： f(v)dv??a(0?v?30)?30v?(30?v?60)?a f(v)??
v?2a?a(60?v?120)?60?0(v?120)?由平均速率定义：v??vf(v)dv，有：
060120avv??v?vdv??v?adv??v?(2a?a)dv?54m/s；
030603060（4）速率大于60m/s的那些分子的平均速率：
120vv(2a?a)dv]?6060v?60?120?80m/s。 v?60(2a?60a)dv]30?4-11．在标准状态下，若氧气（视为刚性双原子分子的理想气体）和氦气的体积比V1/V2?1/2，则其内能之比E1/E2为多少？ 解：根据pV??RT，有：
p1V1?1T1，因题设条件为p1?p2，V1/V2?1/2，可得：?p2V2?2T2i5?1T1/?2T2?1/2，又∵氦气是单原子分子，知：1?，
i23i1?1RT1515E12那么内能之比为：???? 。 E2i2?RT326222第5章 热力学定律
5-2．1mol单原子理想气体从300K加热至350K，问在以下两个过程中各吸收了多少热量？增加了多少内能？对外做了多少功？ （1）容积保持不变；（2）压强保持不变。 解：（1）等容升温过程
做功： A?0 内能变化：
33R(T2?T1)?1??8.31?50?623.25(J) 22 吸热：Q?A??E?623.25(J)
?E??CV,m(T2?T1)??（2）等压升温过程
做功： A?p(V2?V1)??R(T2-T1)?1?8.31?50?415.5(J) 内能变化：
33R(T2?T1)?1??8.31?50?623.25(J) 22吸热：Q?A??E?415.5?623.25?1039(J)
5-6．一系统由如图所示的a状态沿acb到达b状态，有334J热量传入系统，系统做功126J。
（1）经adb过程，系统做功42J，问有多少热量传入系统?
（2）当系统由b状态沿曲线ba返回状态a时，外界对系统做功为84J，试问系统是
?E??CV,m(T2?T1)??吸热还是放热？热量传递了多少? 解：（1）由acb过程可求出b态和a态的内能之差： ?E?Q?A?334?126?208J，
adb过程，系统作功：A?42J，则：Q??E?A?208?42?250J， 系统吸收热量；
（2）曲线ba过程，外界对系统作功：A??84J， 则：Q??E?A??208?84??292J，系统放热。
5-13．如图，abcda为1mol单原子分子理想气体的循环过程，求： （1）气体循环一次，在吸热过程中从外界共吸收的热量； （2）气体循环一次做的净功； （3）证明TaTc=TbTd。 解：（1）过程ab与bc为吸热过程， 吸热总和为：
Q1?CV(Tb?Ta)?Cp(Tc?Tb)
?35(pbVb?paVa)?(pcVc?pbVb) 2235?(2?2?1?2)?102?(2?3?2?2)?102?800J； 22（2）循环过程对外所作总功为图中矩形面积：
A?(2?1)?105?(3?2)?10?3?102J；
（3）由理想气体状态方程：pV?RT，有：
pVpVpVpVTa?aa，Tc?cc，Tb?bb，Td?dd，
RRRRpaVapcVc2?103?6?10312?106??∴TaTc?， 222RRRpbVbpdVd4?103?3?10312?106TbTd???，
R2R2R2有：TaTc?TbTd ；
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