5-14 如图所示，一摩尔单原子理想气体经等压、绝热、等容和等温过程组成的循环abcda，图中a、b、c、d各状态的温度Ta、Tb、Tc、Td均为已包围的面积和ocd包围的面积大小均为A。在等温过程中还是放热？其数值为多少？
解：如图，循环过程abcda可看成两个循环， abo 为正循环，ocd为逆循环，由于abo包围的面积和 ocd包围的面积大小均为A，∴循环过程abcda对外 做功为零，则系统完成一个循环过程后，热量的代数和 亦为零，即：?Q?Qa?b?Qb?c?Qc?d?Qd?a?0
（1）a →b等压过程：由图可见，Tb?Ta，温度升高，吸热：Qa?b?Cp(Tb?Ta) （2）b →c绝热过程：Qb?c?0
（3）c →d等容过程：由图可见，Td?Tc，温度升高，吸热：Qc?d?Cv(Td?Tc) （4）d →a等温过程： Qd?a
∴Qd?a??(Qa?b?Qb?c?Qc?d)??[Cp(Tb?Ta)?Cv(Td?Tc)]，负号表明放热。 答：在等温过程d →a中系统是放热，数值为Cp(Tb?Ta)?Cv(Td?Tc)。 答案：放热，Cp(Tb?Ta)?CV(Td?Tc)。
5-15．一可逆卡诺机的高温热源温度为127℃，低温热源温度为27℃，其每次循环对外做的净功为8000J。今维持低温热源温度不变，提高高温热源的温度，使其每次循环对外做的净功为10000J，若两个卡诺循环都工作在相同的两条绝热线之间。求：
（1）第二个热循环机的效率； （2）第二个循环高温热源的温度。 解：根据卡诺循环效率公式：??1?而：??知，abo系统吸热
T2300?1??0.25， T1400A8000A?32000J，Q2?Q1?A?24000，有：Q1??J
?0.25Q1由于在同样的绝热线之间，且维持低温热源温度不变，他们向低温热源吸收的热量相等，所以第二个热机的效率为：???A?10000??29.4%，再考虑到它是通过提高
Q2?A?24000?10000T2T2300??425K ，有： T1??1???1?0.294T1'高温热源的温度达到目的的，可利用?'?1? 第6章 静电场
6-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为?，四分之
一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强。 解：以O为坐标原点建立xOy坐标，如图所示。
①对于半无限长导线A?在O点的场强：
???E?(cos?cos?)?Ax4??R2?0有：?
?E??(sin??sin?)Ay?4??0R2?②对于半无限长导线B?在O点的场强：
xEy???E?(sin??sin)?Bx4??R2?0有：?
?E??(cos??cos?)By?4??0R2?③对于AB圆弧在O点的场强：有：
?????2E?cos?d??(sin?sin?)?ABx?04??0R4??0R2? ???E?2?sin?d????(cos??cos?)?ABy?04??R4??0R20?∴总场强：EOx????，EOy?，得：EO?(i?j)。
4??0R4??0R4??0R22EOx?EOy?或写成场强：E?2?，方向45。
4??0R6-7．在点电荷q的电场中，取一半径为R的圆形平面(如图所示)，平面到q的距离为d，试计算通过该平面的E的通量.
解：通过圆平面的电通量与通过与A为圆心、AB为半径、圆的平面 为周界的球冠面的电通量相同。
【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r，有r?球冠面一条微元同心圆带面积为：dS?2?rsin??rd? ∴球冠面的面积：S?d2?R2， rd??rsin?Odr??02?rsin??rd??2?rcos?20cos??
xd?2?r2(1?)】
r∵球面面积为：S球面?4?r，通过闭合球面的电通量为：?闭合球面?2q?0，
由：
?球冠?球面?S球面S球冠，∴?球冠?1dqqd(1?)??(1?)
222r?02?0R?d6-10．图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为?，球壳内表面半径为R1，外表面半径为R2．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。 解：当r?R1时，因高斯面内不包围电荷，有：E1?0， 当R1?r?R2时，有：E2???(r3?R13)4??0r243?(r3?R13)?， 23?0r当r?R2时，有：E3?3??(R2?R13)434??0r2R2R13?(R2?R13)?， 23?0r以无穷远处为电势零点，有：
U??E2?dr??E3?dr??R1R2R2?33??(R?R)?(r3?R13)21dr??dr 22R3?0r3?0r26-12．如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q，沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为?，长度为l，细线左端离球心距离为r0。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能（设无穷远处的
电势为零）。 解：（1）以O点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为x轴， 均匀带电球面在球面外的场强分布为：E?q4??0r2（r?R）。
取细线上的微元：dq??dl??dr，有：dF?Edq， ∴F??r0?lr0??qlr?为r方向上的单位矢量） （r?dr?24??0x4??0r0(r0?l)qq4??0r（r?R，?为电势零点）。
（2）∵均匀带电球面在球面外的电势分布为：U?对细线上的微元dq??dr，所具有的电势能为：dW?∴W?q4??0r??dr，
q4??0?r0?l?drrr0?q?4??0lnr0?l。 r06-17．同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱(内)和圆筒(外)构成，设内圆柱半径为R1，电势为V1，外圆筒的内半径为R2，电势为V2.求其离轴为r处(R1 解：∵R1 ?R2R2R1?， 2??0rR??dr?ln2 2??0r2??0R1?R1R2(V?V)??12 2??0ln(R2R1)同理，r处的电势为：Ur?V2??rR??dr?ln2（*） 2??0r2??0rRln(R2r)?∴Ur?V2?ln2?(V1?V2)?V2。 2??0rln(R2R1)V1V2【注：上式也可以变形为：Ur?V1?(V1?V2)用：V1?Ur?ln(rR1)，与书后答案相同，或将（*）式 ln(R2R1)?rR1??rdr?ln计算，结果如上】 2??0r2??0R1第7章 稳恒磁场 7-1．如图所示的弓形线框中通有电流I，求圆心O处的磁感应强度B。 ?0I??0I?解：圆弧在O点的磁感应强度：B1?，方向：4?R6R直导线在O点的磁感应强度：B2?； ?0I4?Rcos600[sin60?sin(?60)]?003?0I2?R?；，方向： ∴总场强：B??0I2R(1?)，方向?。 ?337-3．无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c部分是在xoy 平面内半径为R的半圆，试求通以电流I时O点的磁感应强度。 解：∵a段对O点的磁感应强度可用 ?SB?dl??0?I求得， ?0I?0Ij 有：Ba?，∴Ba??4?R4?Rb段的延长线过O点，Bb?0， ?0I?0I?0Ic段产生的磁感应强度为：Bc?，∴Bc????k 4?R4R4R?0I?0IB??j+k，方向如图。 则：O点的总场强：O4?R4R7-6．一边长为l=0.15m的立方体如图放置在均匀磁场B?(6i?3j?1.5k)T中，计算（1） 通过立方体上阴影面积的磁通量；（2）通过立方体六面的总磁通量。 解：（1）通过立方体上（右侧）阴影面积的磁通量为 SSS???????m1??B?dS??(6i?3j?1.5k)?dSi?6??dS?6?0.152?0.135Wb（2）由于立方 体左右两个面的外法线方向相反，通过这两个面的磁通量相互抵消，同理，上下两面和前后两面各相互抵消，因此通过立方体六面的总磁通量为0。 7-9．无限长直线电流I1与直线电流I2共面，几何位置如图所示， 试求直线电流I2受到电流I1磁场的作用力。 解：在直线电流I2上任意取一个小电流元I2dl， 此电流元到长直线的距离为x，无限长直线电流I1 在小电流元处产生的磁感应强度为： ?0I1B??， 2?x再利用dF?IBdl，考虑到dl??0I1I2dxdx，有：， dF??0cos6002?xcos60
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