∴F??ba?0I1I2dx?0I1I2b??ln。 02?xcos60?a7-12．截面积为S、密度为?的铜导线被弯成正方形的三边， 可以绕水平轴OO?转动，如图14-53所示。导线放在方向竖
直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为I时，导线离开原来 的竖直位置偏转一个角度?而平衡，求磁感应强度。 解：设正方形的边长为a，质量为m，m??aS。 平衡时重力矩等于磁力矩：
由M?pm?B，磁力矩的大小：M?BIa2sin(900??)?BIa2cos?；
重力矩为：M?mgasin??2mg?a2sin??2mgasin? 平衡时：BIa2cos??2mgasin?，∴B?2mg2?gSIatan??Itan?。第8章 变化的磁场
8-2．如图所示，长直导线中通有电流I?5.0A，在与其相距d?0.5cm处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长l?4.0cm，宽a?2.0cm。 不计线圈自感，若线圈以速度v?3.0cm/s沿垂直于长导线的方向向右 运动，线圈中的感生电动势多大？
解法一：利用法拉第电磁感应定律解决。 首先用
?lB?dl??0?I求出电场分布，易得：B??0I2?r， 则矩形线圈内的磁通量为：???x?a?0I?0Ilx2?r?ldr?2?lnx?ax， 由?i??Nd?dt，有：?N?0Il11dxi??2?(x?a?x)?dt ∴当x?d时，有：?N?0Ilavi?2?(d?a)?1.92?10?4V。
解法二：利用动生电动势公式解决。 由
?lB?dl??0?I求出电场分布，易得：B??0I2?r， 考虑线圈框架的两个平行长直导线部分产生动生电动势， 近端部分：?1?NB1lv， 远端部分：?2?NB2lv， 则：???N?0I1??2?2?(1d?1d?a)lv?N?0Ialv2?d(d?a)?1.92?10?4V。
8-3．如图所示，长直导线中通有电流强度为I的电流，长为l的金属棒ab与长直导线共面且垂直于导线放置，其a端离导线为d，并以速度v平行于长直导线作匀速运动，求金属棒中的感应电动势?并比较Ua、Ub的电势大小。 解法一：利用动生电动势公式解决：
?0Id??(v?B)?dl?v?dr，
2?r∴????0vI2??d?ld?0vId?ldr??ln，
2?dr由右手定则判定：Ua >Ub。
解法二：利用法拉第电磁感应定律解决。 作辅助线，形成闭合回路abb'a'，如图，
???B?dS??Sd?ld?0Iyd?l?0I?ln， ydr2?d2?ra'dryb'r∴????0Id?ldy?0Ivd?ld?。 ??ln???lndt2?ddt2?d由右手定则判定：Ua >Ub。
8-4．电流为I的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为120， 几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度v平行于长直 导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。 解法一：（用等效法）连接AO、OB，圆弧形导线与AO、OB 形成闭合回路，闭合回路的电动势为0，所以圆弧形导线电动势与 AOB直导线的电动势相等。
BA?O?AO??(v?B)?dl???2RR?0Iv?0Ivdx??ln2， 2?x2?B?OB??(v?B)?dl???∴?AB??AO??OB??5R22R?0Iv?0Iv5dx??ln， 2?x2?4A?O?0Iv5ln。 2?2解法二：（直接讨论圆弧切割磁感应线）从圆心处引一条半径线，与水平负向夹角为?，那
?0I?0I?0I么，B?，再由???(v?B)?dl有： ??2?x2?(2R?Rcos?)2?R(2?cos?)第9章 波动光学
9-2．图示为用双缝干涉来测定空气折射率n的装置。实验前，在长度为l的两个相同密封玻璃管内都充以一大气压的空气。现将上管中的空气逐渐抽去，（1）则光屏上的干涉条纹将向什么方向移动；（2）当上管中空气完全抽到真空，发现屏上波长为?的干涉条纹移过N条。
计算空气的折射率。
解：（1）当上面的空气被抽去，它的光程减小，所以它将 通过增加路程来弥补，条纹向下移动。
（2）当上管中空气完全抽到真空，发现屏上波长为?的干涉条纹移过N条，可列出：l（n?1）?N? 得：n?N??1。 l9-8．柱面平凹透镜A，曲率半径为R，放在平玻璃片B上，如图所示。现用波长为?的平行单色光自上方垂直往下照射，观察A和B间空气薄膜的反射光的干涉条纹。设空气膜的最大厚度d?2?。
（1）求明、暗条纹的位置(用r表示)； （2）共能看到多少条明条纹；
（3）若将玻璃片B向下平移，条纹如何移动？
d ? e解：设某条纹处透镜的厚度为e，则对应空气膜厚度为d?e，r2那么：d?e?，
2R2e?2e?e?2?2k?2?1?，2?，3，明纹），（k?，
?2?(2k?1)?2?1?，2，暗纹），（k?0，；
（1）明纹位置为：r?2R(d?2k?1?2， ?)，k??1，4暗纹位置为：r?k?1，?2； 2R(d??)，k?0，2（2）对中心处，有：emax?d?2?，r?0，代入明纹位置表示式，有：kmax?4.5?4， 又因为是柱面平凹透镜，∴明纹数为8条；
（3）玻璃片B向下平移时，空气膜厚度增加，条纹由里向外侧移动。
9-12．用波长?1?400nm和?2?700nm的混合光垂直照射单缝，在衍射图样中?1的第k1级明纹中心位置恰与?2的第k2级暗纹中心位置重合。求满足条件最小的k1和k2。 解：由asin??(2k1?1)?12，asin??2k2?22，有：
2k1?12k2??27?， ?14∴4k1?2?7k2，即：k1?3，k2?2。
9-16．一缝间距d?0.1mm，缝宽a?0.02mm的双缝，用波长??600nm的平行单色光垂直入射，双缝后放一焦距为f?2.0m的透镜，求：（1）单缝衍射中央亮条纹的宽度内有几条干涉主极大条纹；（2）在这双缝的中间再开一条相同的单缝，中央亮条纹的宽度内又有几条干涉主极大？
解：（1）双缝干涉实际上是单缝衍射基础上的双光束干涉，单缝衍射两暗纹之间的宽度内，考察干涉的主极大，可以套用光栅的缺级条件。
ka?ba?b0.10mm?有：k?k'?k'?5k'，当k'?1时，有k?5， k'aa0.02mm∴第五级为缺级，单缝衍射中央亮条纹的宽度内有k?0，?1，?2，?3，?4共九条干涉主极
由
大条纹；
（2）在这双缝的中间再开一条相同的单缝，则此时的a?b?0.05mm， 同理：k?a?b0.05mmk'?k'?2.5k'，当k'?1时，有k?2.5， a0.02mm显然，单缝衍射中央亮条纹的宽度内有k?0，?1，?2共五条干涉主极大条纹
9-18．自然光投射到叠在一起的两块偏振片上，则两偏振片的偏振化方向夹角为多大才能使：
（1）透射光强为入射光强的1/3；
（2）透射光强为最大透射光强的1/3。(均不计吸收)
解：设两偏振片的偏振化方向夹角为?，自然光光强为I0。
11I0，I?I0cos2?，通过第二块偏振片之后： 221112（1）由已知条件，透射光强为入射光强的，得：I0cos??I0，有：
3232??arccos?35.26
31112（2）同样由题意当透射光强为最大透射光强的1/3时，得：I0cos??(I0)，有：
2323??arccos?54.73。
3则自然光通过第一块偏振片之后，透射光强
9-19．设一部分偏振光由一自然光和一线偏振光混合构成。现通过偏振片观察到这部分偏振光在偏振片由对应最大透射光强位置转过60时，透射光强减为一半，试求部分偏振光中自然光和线偏振光两光强各占的比例。
?11??I?I?II?I?I???max201?max201解:由题意知：????I0?I1，
11111?I?I?I?I?I?Icos260max01max01???224?22∴即得I0:I1?1:1。
9-20．使自然光通过两个偏振化方向成60°角的偏振片，透射光强为I1，今在这两个偏振片之间再插入另一偏振片，它的偏振化方向与前两个偏振片均成30°角，则透射光强为多少？
解：设自然光的光强为I0，则有 I1?11I0cos260??I0 28再插入另一偏振片后，透射光强为
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