湖南省娄底市2019-2020学年中考数学五模考试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知一元二次方程ax2+ax﹣4＝0有一个根是﹣2，则a值是（ ） A．﹣2
B．
2 3C．2 D．4
2．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0，b＜0，c＞0 B．﹣
b=1 2aC．a+b+c＜0
D．关于x的方程ax2+bx+c=﹣1有两个不相等的实数根 3．估计8-1的值在（ ） A．0到1之间
B．1到2之间
C．2到3之间
D．3至4之间
4．下列各点中，在二次函数y??x2的图象上的是（ ） A．?1,1?
B．?2,?2?
C．?2,4?
D．??2,?4?
5．纳米是一种长度单位，1纳米=10-9米，已知某种植物花粉的直径约为35000纳米，那么用科学记数法表示该种花粉的直径为（ ） A．3.5?104米
B．3.5?10?4米
C．3.5?10?5米
D．3.5?10?9米
6．若kb＜0，则一次函数y?kx?b的图象一定经过（ ） A．第一、二象限
B．第二、三象限
C．第三、四象限
D．第一、四象限
7．小明早上从家骑自行车去上学，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达学校，小明骑自行车所走的路程s（单位：千米）与他所用的时间t（单位：分钟）的关系如图所示，放学后，小明沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，下列说法： ①小明家距学校4千米；
②小明上学所用的时间为12分钟； ③小明上坡的速度是0.5千米/分钟； ④小明放学回家所用时间为15分钟． 其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．－10－4的结果是（ ）
A．－7 B．7 C．－14 D．13 9．下列运算，结果正确的是（ ） A．m2+m2=m4 C．（3mn2）2=6m2n4
B．2m2n÷mn=4m D．（m+2）2=m2+4
1210．如图，数轴上有三个点A、B、C，若点A、B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（ ）
A．﹣2
B．0
C．1
D．4
11．一个圆锥的侧面积是12π，它的底面半径是3，则它的母线长等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．6
12．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP,CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是( )
A．60° B．65° C．55° D．50°
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．若从 -3，-1，0，1，3这五个数中随机抽取一个数记为a，再从剩下的四个数中任意抽取一个数记为
?2x?y?b3b，恰好使关于x，y的二元一次方程组?有整数解，且点(a，b)落在双曲线y??上的概率是
x?ax?y?1_________.
14．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题： 已知：VABC.求作：VABC的内切圆． 小明的作法如下：如图2，
?1?作?ABC，?ACB的平分线BE和CF，两线相交于点O； ?2?过点O作OD?BC，垂足为点D；
?3?点O为圆心，OD长为半径作eO.所以，eO即为所求作的圆．
请回答：该尺规作图的依据是______．
15．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和两个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是__________.
k2?2k?316．若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=（k为常数）的图象上，
x则y1、y2、y3的大小关系为________．
17．若圆锥的地面半径为5cm，侧面积为65?cm2，则圆锥的母线是__________cm． 18．已知关于x的方程x2－2
x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为__________．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）万件之间的函数关系如图所示．求该网店每月利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？
20．（6分）若关于x的方程
x?a3??1无解，求a的值. x?1x21．（6分）某翻译团为成为2022年冬奥会志愿者做准备，该翻译团一共有五名翻译，其中一名只会翻译西班牙语，三名只会翻译英语，还有一名两种语言都会翻译．求从这五名翻译中随机挑选一名会翻译英语的概率；若从这五名翻译中随机挑选两名组成一组，请用树状图或列表的方法求该纽能够翻译上述两种语言的概率．
22．（8分）研究发现，抛物线y?12x上的点到点F(0，1)的距离与到直线l：y??1的距离相等.如图14所示，若点P是抛物线y?12x上任意一点，PH⊥l于点H，则PF=PH. 4121x的关联距离；当2?d?4时，称点M为抛物线y?x2的关44基于上述发现，对于平面直角坐标系xOy中的点M，记点M到点P的距离与点P到点F的距离之和的最小值为d，称d为点M关于抛物线y?联点.
0?，M2?1，2?，M3?4，5?，M4?0，?4?中，抛物线y?（1）在点M1?2，1?，点C?t?13，（2）如图2，在矩形ABCD中，点A?t，?，
①若t=4，点M在矩形ABCD上，求点M关于抛物线y?②若矩形ABCD上的所有点都是抛物线y?12x的关联点是_____ ； 412x的关联距离d的取值范围； 412x的关联点，则t的取值范围是________. 423．（8分）如图，分别延长?ABCD的边CD，AB到E，F，使DE?BF，连接EF，分别交AD，BC于G，H，连结CG，AH.求证：CG//AH．
24．（10分）如图，一次函数y=k1x+b(k1≠0)与反比例函数y?k2 ( k2?0 )的图象交于点A(-1，2)，B(m，x-1)．求一次函数与反比例函数的解析式；在x轴上是否存在点P(n，0)，使△ABP为等腰三角形，请你直接写出P点的坐标．
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．
（1）画出△AOB平移后的三角形，其平移后的方向为射线AD的方向，平移的距离为AD的长． （2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD外，还有一种特殊的平行四边形？请证明你的结论．
26．（12分）如图，已知抛物线y=
12
x+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），3AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
27．（12分）综合与探究 如图，抛物线y=﹣3223，与y轴交于点C，x?x?3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）
33直线l经过B，C两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CM，将线段MC绕点M顺时针旋转90°得到线段MD，连接CD，BD．设点M运动的时间为t（t＞0），请解答下列问题：
（1）求点A的坐标与直线l的表达式；
（2）①直接写出点D的坐标（用含t的式子表示），并求点D落在直线l上时的t的值； ②求点M运动的过程中线段CD长度的最小值；
（3）在点M运动的过程中，在直线l上是否存在点P，使得△BDP是等边三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．C 【解析】
分析：将x=－2代入方程即可求出a的值．
详解：将x=－2代入可得：4a－2a－4=0， 解得：a=2，故选C．
点睛：本题主要考查的是解一元一次方程，属于基础题型．解方程的一般方法的掌握是解题的关键． 2．D 【解析】
试题分析：根据图像可得：a＜0，b＞0，c＜0，则A错误；?b?1，则B错误；当x=1时，y=0，即2aa+b+c=0，则C错误；当y=－1时有两个交点，即ax2?bx?c??1有两个不相等的实数根，则正确，故选D． 3．B 【解析】
试题分析：∵2＜8＜3， ∴1＜8-1＜2， 即8-1在1到2之间， 故选B．
考点：估算无理数的大小． 4．D
【解析】 【分析】
将各选项的点逐一代入即可判断． 【详解】
2解：当x=1时，y=-1，故点?1,1?不在二次函数y??x的图象； 2当x=2时，y=-4，故点?2,?2?和点?2,4?不在二次函数y??x的图象；
当x=-2时，y=-4，故点??2,?4?在二次函数y??x的图象；
2故答案为：D． 【点睛】
本题考查了判断一个点是否在二次函数图象上，解题的关键是将点代入函数解析式． 5．C 【解析】 【分析】
10-n，与较大数的科学记数法不同的是其绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×
所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】
35000纳米=35000×10-9米=3.5×10-5米． 故选C． 【点睛】
10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×个不为零的数字前面的0的个数所决定． 6．D 【解析】 【分析】
根据k，b的取值范围确定图象在坐标平面内的位置关系，从而求解． 【详解】 ∵kb<0， ∴k、b异号。
①当k>0时，b<0，此时一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限； ②当k<0时，b>0，此时一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限； 综上所述，当kb<0时，一次函数y=kx+b的图象一定经过第一、四象限。 故选：D
【点睛】
此题考查一次函数图象与系数的关系，解题关键在于判断图象的位置关系 7．C 【解析】 【分析】
从开始到A是平路，是1千米，用了3分钟，则从学校到家门口走平路仍用3分钟，根据图象求得上坡（AB段）、下坡（B到学校段）的路程与速度，利用路程除以速度求得每段所用的时间，相加即可求解． 【详解】
解：①小明家距学校4千米，正确； ②小明上学所用的时间为12分钟，正确； ③小明上坡的速度是
2?1?0.2千米/分钟，错误； 8?3④小明放学回家所用时间为3+2+10＝15分钟，正确； 故选：C． 【点睛】
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一． 8．C 【解析】
解：－10－4=－1．故选C． 9．B 【解析】 【分析】
直接利用积的乘方运算法则、合并同类项法则和单项式除以单项式运算法则计算得出答案． 【详解】
A. m2+m2=2m2，故此选项错误； B. 2m2n÷mn=4m，正确； C. (3mn2)2=9m2n4，故此选项错误； D. (m+2)2=m2+4m+4，故此选项错误. 故答案选：B. 【点睛】
本题考查了乘方运算法则、合并同类项法则和单项式除以单项式运算法则，解题的关键是熟练的掌握乘方运算法则、合并同类项法则和单项式除以单项式运算法则. 10．C
12【解析】
【分析】首先确定原点位置，进而可得C点对应的数． 【详解】∵点A、B表示的数互为相反数，AB=6
∴原点在线段AB的中点处，点B对应的数为3，点A对应的数为-3， 又∵BC=2，点C在点B的左边， ∴点C对应的数是1， 故选C．
【点睛】本题主要考查了数轴，关键是正确确定原点位置． 11．C 【解析】
设母线长为R，底面半径是3cm，则底面周长=6π，侧面积=3πR=12π， ∴R=4cm． 故选C． 12．A 【解析】
试题分析：根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数． 解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°， ∴∠BCD+∠CDE=540°=240°﹣300°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O， ∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°， ∴∠P=180°=60°﹣120°． 故选A．
考点：多边形内角与外角；三角形内角和定理．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．
3 20【解析】
分析：根据题意可以写出所有的可能性，然后将所有的可能性代入方程组?找出符号要求的可能性，从而可以解答本题．
详解：从﹣3，﹣1，0，1，3这五个数中随机抽取一个数记为a，再从剩下的四个数中任意抽取一个数记为b，则（a，b）的所有可能性是：
（﹣3，﹣1）、（﹣3，0）、（﹣3，1）、（﹣3，3）、
?2x?y?b3和双曲线y??，
x?ax?y?1 （﹣1，﹣3）、（﹣1，0）、（﹣1，1）、（﹣1，3）、 （0，﹣3）、（0，﹣1）、（0，1）、（0，3）、 （1，﹣3）、（1，﹣1）、（1，0）、（1，3）、
（3，﹣3）、（3，﹣1）、（3，0）、（3，1），将上面所有的可能性分别代入关于x，y的二元一次方程组??2x?y?b3有整数解，且点（a，b）落在双曲线y??上的是：（﹣3，1），（﹣1，3），（3，
x?ax?y?1?2x?y?b3y的二元一次方程组?b）﹣1），故恰好使关于x，有整数解，且点（a，落在双曲线y??x?ax?y?1上的概率是：
33．故答案为． 2020点睛：本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，写出所有的可能性．
14．到角两边距离相等的点在角平分线上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【解析】 【分析】
根据三角形的内切圆，三角形的内心的定义，角平分线的性质即可解答. 【详解】
解：该尺规作图的依据是到角两边距离相等的点在角平分线上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
故答案为到角两边距离相等的点在角平分线上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【点睛】
此题主要考查了复杂作图，三角形的内切圆与内心，关键是掌握角平分线的性质． 15．
【解析】 【分析】
首先根据题意列表，由列表求得所有等可能的结果与两次都摸到黑球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验． 【详解】 列表得： 第一次 黑 第二次 白 白 黑 白 白 黑，黑 黑，白 黑，白 白，黑 白，白 白，白 白，黑 白，白 白，白 ∵共有9种等可能的结果，两次都摸到黑球的只有1种情况， ∴两次都摸到黑球的概率是.
故答案为：.
【点睛】
考查概率的计算，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键. 16．y2＜y1＜y2 【解析】
分析：设t=k2﹣2k+2，配方后可得出t＞1，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2、y2的值，比较后即可得出结论． 详解：设t=k2﹣2k+2， ∵k2﹣2k+2=（k﹣1）2+2＞1， ∴t＞1．
k2?2k?3∵点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y2）都在反比例函数y=（k为常数）的图象上，
xt，y2=﹣t，y2=t， 2t又∵﹣t＜﹣＜t，
2∴y1=﹣∴y2＜y1＜y2．
故答案为：y2＜y1＜y2．
点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y2的值是解题的关键． 17．13 【解析】
试题解析：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解． 设母线长为R，则：65π?π?5R，解得:R?13cm. 故答案为13. 18．-3
【解析】
试题解析：根据题意得：△=（2解得：k=-3，
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（1）当4≤x≤6时，w1=﹣x2+12x﹣35，当6≤x≤8时，w2=﹣10万元的无息贷款． 【解析】
分析：（1）y（万件）与销售单价x是分段函数，根据待定系数法分别求直线AB和BC的解析式，又分两种情况，根据利润=（售价﹣成本）×销售量﹣费用，得结论；
（2）分别计算两个利润的最大值，比较可得出利润的最大值，最后计算时间即可求解． 详解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
1×）2-4×（-k）=0，即12+4k=0，
12
x+7x﹣23；（2）最快在第7个月可还清2?4k?b?4代入A（4，4），B（6，2）得：?，
6k?b?2?解得：??k??1，
b?8?∴直线AB的解析式为：y=﹣x+8，
同理代入B（6，2），C（8，1）可得直线BC的解析式为：y=﹣∵工资及其他费作为：0.4×5+1=3万元，
∴当4≤x≤6时，w1=（x﹣4）（﹣x+8）﹣3=﹣x2+12x﹣35， 当6≤x≤8时，w2=（x﹣4）（﹣（2）当4≤x≤6时，
w1=﹣x2+12x﹣35=﹣（x﹣6）2+1， ∴当x=6时，w1取最大值是1， 当6≤x≤8时， w2=﹣
1x+5， 211x+5）﹣3=﹣x2+7x﹣23； 221213x+7x﹣23=﹣（x﹣7）2+，
222当x=7时，w2取最大值是1.5， ∴
10202==6， 1.533即最快在第7个月可还清10万元的无息贷款．
点睛：本题主要考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，一次函数与一次不等式的应用，利用数形
结合的思想，是一道综合性较强的代数应用题，能力要求比较高． 20．a?1或-2 【解析】 分析：该分式方程方程无解．
详解：去分母得：x（x-a）-1（x-1）=x（x-1）， 去括号得：x2-ax-1x+1=x2-x， 移项合并得：（a+2）x=1． （1）把x=0代入（a+2）x=1， ∴a无解；
把x=1代入（a+2）x=1， 解得a=1； （2）（a+2）x=1，
x=1，x无解 当a+2=0时，0×
即a=-2时，整式方程无解．
综上所述，当a=1或a=-2时，原方程无解． 故答案为a=1或a=-2．
点睛：分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形． 21．（1）【解析】 【分析】
（1）直接利用概率公式计算；
（2）只会翻译西班牙语用A表示，三名只会翻译英语的用B表示，一名两种语言都会翻译用C表示，画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出该组能够翻译上述两种语言的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】
解：（1）从这五名翻译中随机挑选一名会翻译英语的概率＝
x?a3??1无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式x?1x47；（2）. 5104； 5（2）只会翻译西班牙语用A表示，三名只会翻译英语的用B表示，一名两种语言都会翻译用C表示 画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中该组能够翻译上述两种语言的结果数为14，
所以该纽能够翻译上述两种语言的概率＝【点睛】
147? ． 2010本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 22． (1) M1，M2；（2）①4≤d≤29. ②-23≤t≤23?1. 【解析】
【分析】（1）根据关联点的定义逐一进行判断即可得；
，，3?，D?4，3?，可以确定此时矩形ABCD上的所（2））①当t?4时，A?41?，B?51?，C?5，有点都在抛物线y?12x的下方，所以可得d?MF，由此可知AF?d?CF，从而可得44?d?29；
②由①知d?MF，分两种情况画出图形进行讨论即可得.
0?，x=2时，y=【详解】（1）M1?2，点；
12x=1，此时P（2，1），则d=1+2=3，符合定义，是关联41171M2?1，2?，x=1时，y=x2=，此时P（1，），则d=+4444义，是关联点；
?1?=3，符合定
1?0????1???4?221M3?4，5?，x=4时，y=x2=4，此时P（4，4），则d=1+4不是关联点；
?4?0???1?4?22=6，不符合定义，
1M4?0，?4?，x=0时，y=x2=0，此时P（0，0），则d=4+5=9，不不符合定义，是关联点，
4故答案为M1，M2；
，，3?，D?4，3?， （2）①当t?4时，A?41?，B?51?，C?5，此时矩形ABCD上的所有点都在抛物线y?∴d?MF， ∴AF?d?CF， ∵AF=4，CF=29， ∴4?d?12x的下方， 429；
②由①d?MF，AF?d?CF，
如图2所示时，CF最长，当CF=4时，即?t?1?2?(3?1)2=4，解得：t=23?1，
如图3所示时，DF最长，当DF=4时，即DF=t2?(3?1)2=4，解得 t=?23，
故答案为?23?t?23?1.
【点睛】本题考查了新定义题，二次函数的综合，题目较难，读懂新概念，能灵活应用新概念，结合图形解题是关键. 23．证明见解析 【解析】
分析：根据平行四边形的性质以及已知的条件得出△EGD和△FHB全等，从而得出DG=BH，从而说明AG和CH平行且相等，得出四边形AHCG为平行四边形，从而得出答案． 详解：证明：在?ABCD中，AB//CD，AD//CB，AD?CB，
??E??F，?EDG??DCH??FBH，又 DE?BF，?VEGD≌VFHB?AAS?， ?DG?BH，?AG?HC，又QAD//CB，
?四边形AGCH为平行四边形， ?AH//CG．
点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质以及判定定理，属于基础题型．解决这个问题的关键就是根据平行四边形的性质得出四边形AHCG为平行四边形． 24．（1）反比例函数的解析式为y??2；一次函数的解析式为y=-x+1；（2）满足条件的P点的坐标为x（-1+14，0）或（-1-14，0）或（2+17，0）或（2-17，0）或（0,0）． 【解析】 【分析】
（1）将A点代入求出k2，从而求出反比例函数方程，再联立将B点代入即可求出一次函数方程.
（2）令PA=PB，求出P.令AP=AB,求P.令BP=BA，求P.根据坐标距离公式计算即可. 【详解】
（1）把A（-1，2）代入∴反比例函数的解析式为∵B（m，-1）在由题意
，得到k2=-2， ．
上，∴m=2， ，解得：
，∴一次函数的解析式为y=-x+1．
（2）满足条件的P点的坐标为（-1+14，0）或（-1-14，0）或（2+17，0）或（2-17，0）或（0,0）．【点睛】
本题考查一次函数图像与性质和反比例函数的图像和性质，解题的关键是待定系数法，分三种情况讨论. 25．（1）如图所示见解析；（2）四边形OCED是菱形．理由见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据图形平移的性质画出平移后的△DEC即可；
（2）根据图形平移的性质得出AC∥DE，OA=DE，故四边形OCED是平行四边形，再由矩形的性质可知OA=OB，故DE=CE，由此可得出结论． 【详解】 （1）如图所示；
（2）四边形OCED是菱形． 理由：∵△DEC由△AOB平移而成， ∴AC∥DE，BD∥CE，OA=DE，OB=CE， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OB， ∴DE=CE，
∴四边形OCED是菱形． 【点睛】
本题考查了作图与矩形的性质，解题的关键是熟练的掌握矩形的性质与根据题意作图.
26． (1) 抛物线的解析式为y=(3) Q（4,1）或（-3，1）. 【解析】 【分析】
129815x-2x+1，(2) 四边形AECP的面积的最大值是，点P（，﹣）；
4432(1)把点A，B的坐标代入抛物线的解析式中，求b，c；(2)设P(m，m2?2m＋1)，根据S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC，把S四边形AECP用含m式子表示，根据二次函数的性质求解；(3)设Q(t，1)，分别求出点A，B，C，P的坐标，求出AB，BC，CA；用含t的式子表示出PQ，CQ，判断出∠BAC＝∠PCA＝45°，则要分两种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例求t. 【详解】
解：(1)将A(0，1)，B(9，10)代入函数解析式得：
131×81＋9b＋c＝10，c＝1，解得b＝?2，c＝1， 31所以抛物线的解析式y＝x2?2x＋1；
3(2)∵AC∥x轴，A(0，1)， ∴
12
x?2x＋1＝1，解得x1＝6，x2＝0(舍)，即C点坐标为(6，1)， 312
m?2m＋1)，∴E(m，m＋1)， 3∵点A(0，1)，点B(9，10)，
∴直线AB的解析式为y＝x＋1，设P(m，∴PE＝m＋1?(
121m?2m＋1)＝?m2＋3m. 3311AC?EF＋AC?PF 22∵AC⊥PE，AC＝6， ∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝＝
11AC?(EF＋PF)＝AC?EP 2211＝×6(?m2＋3m)＝?m2＋9m. 23∵0 98195?)； 时，四边形AECP的面积最大值是，此时P(，4242(3)∵y＝ 121x?2x＋1＝(x?3)2?2， 33P(3，?2)，PF＝yF?yp＝3，CF＝xF?xC＝3， ∴PF＝CF，∴∠PCF＝45°， 同理可得∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF， ∴在直线AC上存在满足条件的点Q， 设Q(t，1)且AB＝92，AC＝6，CP＝32， ∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似， ①当△CPQ∽△ABC时， CQ:AC＝CP:AB，(6?t):6＝32:92，解得t＝4，所以Q(4，1)； ②当△CQP∽△ABC时， CQ:AB＝CP:AC，(6?t):92＝32:6，解得t＝?3，所以Q(?3，1). P，Q为顶点的三角形与△ABC综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，相似，Q点的坐标为(4，1)或(?3，1). 【点睛】 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质的出关于CQ的比例，要分类讨论，以防遗漏． 27．（1）A（﹣3，0），y=﹣3x+3；（2）①D（t﹣3+3，t﹣3），②CD最小值为6；（3）P（2，﹣3），理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）当y=0时，﹣3223，B（1，0），由解析式得C（0，3），x?x?3=0，解方程求得A（-3，0） 33待定系数法可求直线l的表达式； （2）分当点M在AO上运动时，当点M在OB上运动时，进行讨论可求D点坐标，将D点坐标代入直线解析式求得t的值；线段CD是等腰直角三角形CMD斜边，若CD最小，则CM最小，根据勾股定理可求点M运动的过程中线段CD长度的最小值； （3）分当点M在AO上运动时，即0＜t＜3时，当点M在OB上运动时，即3≤t≤4时，进行讨论可求P点坐标． 【详解】 （1）当y=0时，﹣ 3223x?x?3=0，解得x1=1，x2=﹣3， 33∵点A在点B的左侧， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， 由解析式得C（0，3）， 设直线l的表达式为y=kx+b，将B，C两点坐标代入得b=3mk﹣3， 故直线l的表达式为y=﹣3x+3； （2）当点M在AO上运动时，如图： 由题意可知AM=t，OM=3﹣t，MC⊥MD，过点D作x轴的垂线垂足为N， ∠DMN+∠CMO=90°，∠CMO+∠MCO=90°， ∴∠MCO=∠DMN， 在△MCO与△DMN中， MD?MC{?DCM??DMN， ?COM??MND∴△MCO≌△DMN， ∴MN=OC=3，DN=OM=3﹣t， ∴D（t﹣3+3，t﹣3）； 同理，当点M在OB上运动时，如图， OM=t﹣3，△MCO≌△DMN，MN=OC=3，ON=t﹣3+3，DN=OM=t﹣3， ∴D（t﹣3+3，t﹣3）． 综上得，D（t﹣3+3，t﹣3）． 将D点坐标代入直线解析式得t=6﹣23， 线段CD是等腰直角三角形CMD斜边，若CD最小，则CM最小， ∵M在AB上运动， ∴当CM⊥AB时，CM最短，CD最短，即CM=CO=3，根据勾股定理得CD最小6； （3）当点M在AO上运动时，如图，即0＜t＜3时， ∵tan∠CBO= OC=3， OB∴∠CBO=60°， ∵△BDP是等边三角形， ∴∠DBP=∠BDP=60°，BD=BP， ∴∠NBD=60°，DN=3﹣t，AN=t+3，NB=4﹣t﹣3，tan∠NBO= DN， NB3?t=3，解得t=3﹣3， 4?t?3经检验t=3﹣3是此方程的解， 过点P作x轴的垂线交于点Q，易知△PQB≌△DNB， ∴BQ=BN=4﹣t﹣3=1，PQ=3，OQ=2，P（2，﹣3）； 同理，当点M在OB上运动时，即3≤t≤4时， ∵△BDP是等边三角形， ∴∠DBP=∠BDP=60°，BD=BP， ∴∠NBD=60°，DN=t﹣3，NB=t﹣3+3﹣1=t﹣4+3，tan∠NBD= DN， NBt?3 =3，解得t=3﹣3， t?4?3经检验t=3﹣3是此方程的解，t=3﹣3（不符合题意，舍）． 故P（2，﹣3）． 【点睛】 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法，勾股定理，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角函数，分类思想的运用，方程思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
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