所以
NDNF22?1?16t16 . ?1?1(1?t)2t??2t1 . 2t令y?t? ，所以y??1?当t?3时，y??0,
1t1t110因此t?? ，
t322从而y?t?在[3,??)上单调递增，
等号当且仅当t?3时成立，此时k?0， 所以
NDNF?1?3?4，
由（*）得 ?2?m?故
2 且m?0，
ND1?， NF2设?EDF?2?， 则sin??NF1? ， ND2所以?得最小值为
?6.
从而?EDF的最小值为
?3，此时直线l的斜率时0.
综上所述：当k?0，m?(?2,0)?(0,2)时，?EDF取得最小值为【考点】圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、
?3.
【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．常见解法：①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决；②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．
x2y212.【2017天津，文20】已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F(?c,0)，右顶点为A，
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b2点E的坐标为(0,c)，△EFA的面积为.
2（I）求椭圆的离心率；
（II）设点Q在线段AE上，|FQ|?3c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x2轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c. （i）求直线FP的斜率； （ii）求椭圆的方程.
x2y213【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）（ⅰ） （ⅱ）??1
161224【解析】
1b2试题解析：（Ⅰ）解：设椭圆的离心率为e.由已知，可得(c?a)c?.又由b2?a2?c2，
22可得2c2?ac?a2?0，即2e2?e?1?0.又因为0?e?1，解得e?所以，椭圆的离心率为
1. 21. 21. m（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x?my?c(m?0)，则直线FP的斜率为由（Ⅰ）知a?2c，可得直线AE的方程为
xy??1，即x?2y?2c?0，与直线FP的2cc(2m?2)c3c(2m?2)c3c方程联立，可解得x?，即点Q的坐标为(,y?,).
m?2m?2m?2m?23c(2m?2)c3c23c由已知|FQ|=，有[?c]2?()?()2，整理得3m2?4m?0，所以
2m?2m?2243m?，即直线FP的斜率为.
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x2y2（ii）解：由a?2c，可得b?3c，故椭圆方程可以表示为2?2?1.
4c3c?3x?4y?3c?0,?由（i）得直线FP的方程为3x?4y?3c?0，与椭圆方程联立?x2消去y，y2?2?2?1,?4c3c整理得7x?6cx?13c?0，解得x??2213c3c（舍去），或x?c.因此可得点P(c,)，进72而可得|FP|?(c?c)2?(3c25c5c3c)?，所以|PQ|?|FP|?|FQ|???c.由已知，线2222段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线
FP.
因为QN?FP，所以|QN|?|FQ|?tan?QFN?3c39c，所以△FQN的面积为??248127c275c2，同理△FPM的面积等于，由四边形PQNM的面积为3c，|FQ||QN|?2323275c227c2得??3c，整理得c2?2c，又由c?0，得c?2.
3232x2y2所以，椭圆的方程为??1.
1612【考点】1.椭圆方程；2.椭圆的几何性质；3.直线与椭圆的位置关系.
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，利用
的关系，确定椭圆离心率是基础，通过联立直线
方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再求解过程逐步发现四边形PQNM的几何关系，从而求解面积，计算结果，本题计算量比较大。
13.【2017北京，文19】已知椭圆C的两个顶点分别为A(?2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为3． 2（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM
的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．
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x2【答案】（Ⅰ）?y2?1 ；（Ⅱ）详见解析.
4【解析】
x2y2试题解析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为2?2?1(a?0,b?0).
ab?a?2,?由题意得?c3解得c?3. ,??2?a所以b2?a2?c2?1.
x2所以椭圆C的方程为?y2?1.
4（Ⅱ）设M(m,n)，则D(m,0),N(m,?n). 由题设知m??2，且n?0.
nm?2，故直线DE的斜率kDE?. m?2nm?2所以直线DE的方程为y??(x?m).
nn直线BN的方程为y?(x?2).
2?m直线AM的斜率kAM?m?2?y??(x?m),?n(4?m2)?n联立?解得点E的纵坐标yE??. 22n4?m?n?y?(x?2),?2?m?由点M在椭圆C上，得4?m2?4n2. 所以yE??4n. 5好教育云平台 http://www.jtyhjy.com
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