全国高中数学联赛江苏赛区2016年初赛
试题答案
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2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
考试时间：2016年5月8日（星期日） 上午8∶00－10∶00
试题构成：
类别 题号 1 2 章节 不等式 概率与计数原理 3 填 空 题 4 5 6 7 8 9 10 11 解 12 答 13 题 14 初等数论 三角等式，数的轮换 竞赛 难 解析几何 双曲线的离心率 高二 中 平面几何 几何证明 竞赛 易 函数 导数 解析几何 平面向量 立体几何 数列 不等式 初等数论 三角函数 估值，周期 导函数，基本不等式 圆，直线 线性关系 共面问题 零点存在性定理 基本不等式，数的收拢 整除问题 基本运算 高一 高二 高二 高一 高一 高一 高二 竞赛 高一 易 易 易 易 中 难 中 难 易 知识点 解不等式 计数原理 适用阶段 高一 高二 难度 易 易 解题建议：
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放弃 10，12，14 适当放弃 7，8 试题正文与答案：
一、填空题（每小题7分，共70分）
1．若关于x的不等式x?a?b的解集为?x2?x?4?，则ab的值是 ． 解析 由题设b?0，不等式x?a?b等价于?a?b?x??a?b，
??a?b?2?a??3从而?，解得?，所以ab??3．故填?3．
?a?b?4b?1??2．从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率是 ．
2C5?C244解析 取出两数之和为偶数（两数均为奇数或均为偶数）的概率为．故填?2C994． 93．已知f?x?是周期为4的奇函数，且当x??0,2?时，f?x??x2?16x?60，则
f210的值是 ．
??解析 注意到36?40?49，即6?210?7，所以8?210??0,2?， 所以f210?f210?8??f8?210??36．故填?36． 评注 因为f?x???x?8??4或f?x??x?x?16??60．
?f8?210??8?210?8?4??36或
?f8?210???8?210?210?8?60???36．学会观察，选用合适的方法进
??2??????????2??????行计算．
4．已知直线l是函数f?x??2lnx?x2图象的切线，当l的斜率最小时，l的方程是 ．
解析 由题意从而f??x??2?2x…4，当且仅当x?1时等号成立． x收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
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所以直线l的斜率最小值为4，此时切点为?1,1?，切线方程为4x?y?3?0．故填
4x?y?3?0．
5．在平面直角坐标系xOy中，如果直线l将圆x2?y2?2x?4y?0平分，且不经过第四象限，那么l的斜率的取值范围是 ． 解析 圆的标准方程为?x?1???y?2??5，
由题设直线l过点?1,2?，其方程为y?2?k?x?1?，即y?kx?2?k，
220?k…注意到l不经过第四象限，则?，解得0剟k2．故填?0,2?．
2?k…0?uuur1uuuruuuruuuruuur1uuur6．已知等边△ABC的边长为2，若AP?AB?AC，AQ?AP?BC，则△APQ32??的面积是 ．
uuur1uuuruuur23解析 由AP?AB?AC得点P是等边三角形ABC的中心，所以AP?，
33??uuuruuur1uuuruuur1uuur3又由AQ?AP?BC得PQ?BC，且AP?PQ，因此△APQ的面积为．故填
3223． 3APBQC
JC2016T06D
评注 若找不到方向，此题也可以建系考查．
7．已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，点P在棱BC上，点Q为棱CC1的中点．若过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面为五边形，则BP的取值范围为 ．
解析 先作出基本图形如下图左所示，假设能构成五边形， 我们需要通过延长和连线的作图方法法得到相应的交点，
如下图右所示，连接AP与CD的延长线交于点W，连接WQ并延长与C1D1交于R，
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则R是所截五边形的第三个顶点． （注：作图方法不唯一）
D1A1DPABB1C1QCAA1DPBD1RB1C1QCW
JC2016T07D
通过同样的方法，可以作出其余的点，如下图所示，
XSA1DABtPD11-tRtB1C1QCW
JC2016T07D
若存在这样的五边形，则每个顶点都存在， 设BP?t，通过相似可以得RC1?CW?1?t， t?0?t?11??1?从而只需?1?t，解得?t?1．故填?,1?．
20??1?2??t?评注 如下图所示，由于是正方体，也可采用极端思想，需要几何动态的观点．
(X)D1A1DPABB1C1QCW
JC2016T07D
当点为BC中点时，有PQ∥AD1，即BP?1时，截面为四边形APQD1； 2当P移向C时，W远离C，X点向D点靠拢，此时可形成五边形，
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