大学高等数学函数极限和连续

第一章 函数、极限和连续

§1.1 函数

一、 主要内容 ㈠ 函数的概念

1. 函数的定义: y=f(x), x∈D

定义域: D(f), 值域: Z(f).

y??f(x)x?D2.分段函数:

?1?g(x)x?D2

3.隐函数: F(x,y)= 0

4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1

(y)

y=f-1

(x)

定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：

y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1

)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),

则称f(x)在D内单调增加( )；

若f(x1)≥f(x2),

则称f(x)在D内单调减少( )；

若f(x1)＜f(x2),

则称f(x)在D内严格单调增加( )；

若f(x1)＞f(x2),

则称f(x)在D内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)

3.函数的周期性：

周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数

4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b)

㈢ 基本初等函数

1.常数函数： y=c ， (c为常数)

2.幂函数： y=xn

, (n为实数)

3.指数函数： y=ax

, (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=loga x ,(a＞0、a≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x

y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x

6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数

1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)

y=f[φ(x)] , x∈X

2.初等函数:

由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数

§1.2 极 限

一、 主要内容 ㈠极限的概念

1. 数列的极限:

limyn??n?A

称数列

或称数列

?yn??yn??yn?以常数A为极限;

收敛于A.

定理: 若的极限存在

??yn?必定有界.

2.函数的极限：

⑴当

x??时，f(x)的极限：

limf(x)?A?x?????limf(x)?Ax?? limf(x)?A?

x????⑵当

x?x0时，f(x)的极限：

limf(x)?A

x?x0 左极限：

x?x0lim?f(x)?A

limf(x)?A? 右极限：

x?x0⑶函数极限存的充要条件：

定理：

x?x0limf(x)?A?lim?f(x)?lim?f(x)?Ax?x0x?x0

㈡无穷大量和无穷小量

1． 无穷大量：

limf(x)???f(x)为无穷大量。

x???,

称在该变化过程中

X再某个变化过程是指：

x???,无穷小量：

x??,x?x,x?x,x?x0

?0?02．

limf(x)?0f(x)为无穷小量。

称在该变化过程中3．

无穷大量与无穷小量的关系：

1limf(x)?0?lim???,(f(x)?0) 定理： f(x)4．

无穷小量的比较：

lim??0,lim??0

?lim?0 ⑴若,则称β是比α较高阶的无穷小量；

??lim?c ⑵若 （c为常数），则称β与α同阶的无穷小量；

? ⑶若

?lim?1?，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；