§2.8 函数与方程
最新考纲
1.结合二次函数的图象，判断一元二次方
程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系.2.根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法．
1
1．函数的零点 (1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)三个等价关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
2
Δ>0 Δ＝0 Δ<0 2
二次函数y＝ax＋bx＋c (a>0)的图象 无交点 2 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 零点个数 2 1
概念方
函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？ 提示 不能．
0 法微思考
3
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( × )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( × ) (3)二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)在b－4ac<0时没有零点．( √ )
(4)f(x)＝x，g(x)＝2，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x) 2 2．函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是( ) 2 2 2 xxA．(1,2) B．(2,3) D．(4，＋∞) ?1?C.?，1?和(3,4) ?e? 答案 B 2 解析 ∵f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3－>0 3 且函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续不断，f(x)为增函数， ∴f(x)的零点在区间(2,3)内． 3．函数f(x)＝e＋3x的零点个数是( ) A．0B．1C．2D．3 答案 B 1x解析 由f′(x)＝e＋3>0，得f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因 e此函数f(x)有且只有一个零点． 题组三 易错自纠 x 4
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