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1．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
xA．(0,1) C．(2,4) 答案 C
B．(1,2) D．(4，＋∞)
31
解析 因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函
22数f(x)的零点所在区间为(2,4)．
?1?x2．函数f(x)＝x－??的零点个数为( )
?2?
A．0B．1C．2D．3 答案 B
12?1?x?1?x?1?x解析 函数f(x)＝x－??的零点个数是方程x2－??＝0的解的个数，即方程x2＝??
?2??2??2??1?x的解的个数，也就是函数y＝x与y＝??的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函
?2?
数的图象如图所示，可得交点个数为1.
121211
2x3．函数f(x)＝2－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
xA．(1,3) C．(0,3) 答案 C
B．(1,2) D．(0,2)
解析 因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)<0，解得0 17 1，x≤0，?? 4．已知函数f(x)＝?1 ，x>0，??xA．(1,2) B．(－∞，－2] C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 D 则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是( ) 1 解析 当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x>0时，x＋f(x)＝m，即x＋ x＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D. ?e＋a，x≤0，? 5．已知函数f(x)＝? ??3x－1，x>0 x (a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取 值范围是( ) A．(－∞，－1) C．(－1,0) 答案 D 1x解析 当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝，所以只需要当x≤0时，e＋a＝0有一个 3根即可，即e＝－a.当x≤0时，e∈(0,1]，所以－a∈(0,1]，即a∈[－1，0)，故选D. ??－2，x>0， 6．已知函数f(x)＝?2 ?－x＋bx＋c，x≤0，? xxB．(－∞，0) D．[－1,0) 若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x) ＋x的零点个数为________． 答案 3 ??c＝－2， 解析 依题意得? ?－1－b＋c＝1，? ??b＝－4， 解得? ?c＝－2.? 令g(x)＝0，得f(x)＋x＝0， 该方程等价于①? ??x>0， ??－2＋x＝0， ?x≤0，? 或②?2 ??－x－4x－2＋x＝0， 解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2， 因此，函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为3. 7．若函数f(x)＝x＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是． 2 18 ???3 答案 ?x?－ ???2 2 ?? ? ?? 解析 ∵f(x)＝x＋ax＋b的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x＋ax＋b＝0的两根， ??－2＋3＝－a， 由根与系数的关系知? ?－2×3＝b.???a＝－1， ∴? ?b＝－6，? 2 2 ∴f(x)＝x－x－6.∵不等式af(－2x)>0， 即－(4x＋2x－6)>0?2x＋x－3<0， ???3 解集为?x?－ ???2 2 2 ?? ?. ?? 3 ??x，x≤a， 8．已知函数f(x)＝?2 ?x，x>a.? 若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是． 答案 (－∞，0)∪(1，＋∞) 解析 令φ(x)＝x(x≤a)，h(x)＝x(x>a)，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，即函数y＝ 32 f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，结合图象(图略)可得a<0或φ(a)>h(a)，即a<0或a>a， 3 2 解得a<0或a>1，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)． 9．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2019＋log2019x，则在R上，函数f(x)零点的个数为． 答案 3 解析 因为函数f(x)为R上的奇函数， 1??x所以f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝2019＋log2019x在区间?0，?内存在一个零点，又f(x) ?2019?为增函数， 因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点． 根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点， 从而函数f(x)在R上的零点个数为3. ?1?x?g?x?，f?x?≤g?x?，?10．已知函数f(x)＝??，g(x)＝log1x，记函数h(x)＝? ?2???f?x?，f?x?>g?x?，2x 则函数F(x) ＝h(x)＋x－5的所有零点的和为． 答案 5 解析 由题意知函数h(x)的图象如图所示，易知函数h(x)的图象关于直线y＝x对称，函数 19 F(x)所有零点的和就是函数y＝h(x)与函数y＝5－x图象交点横坐标的和，设图象交点的横 坐标分别为x1，x2，因为两函数图象的交点关于直线y＝x对称，所以以x1＋x2＝5. x1＋x2 2 ＝5－ x1＋x2 2 ，所 ??ln?－x?＋a，x<0， 11．函数f(x)＝? ?f?x＋1?，x≥0，? a∈R，当0≤x<1时，f(x)＝1－x，则f(x)的零点 个数为________． 答案 1 解析 当x<0时，必存在x0＝－e<0，使得f(x0)＝0，因此对任意实数a，f(x)在(－∞，0)内必有一个零点；当x≥0时，f(x)是周期为1的周期函数，且0≤x<1时，f(x)＝1－x.因此可画出函数的大致图象，如图所示，可知函数f(x)的零点个数为1. －a 12．关于x的二次方程x＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围． 2 20
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