《近世代数》试卷1（时间120分钟）
二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）
1. （ ）循环群的子群是循环子群。
2. （ ）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。 3. （ ）存在一个4阶的非交换群。
4. （ ）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。 5. （ ）无零因子环的特征不可能是2001。 6. （ ）无零因子环的同态象无零因子。 7. （ ）模97的剩余类环Z97是域。
8. （ ）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。 9. （ ）域是唯一分解整环。
10. （ ）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。 一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）
1. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义 个从A到B的映射，其中 有 个单射，有 个满射，有 个双射。
2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为 ，子群H=< a3>的在G中的指数是 。
3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是 。 4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ??, [11]｝中，［5］＋［10］＝ ，［5］·［10］＝ ，方程x2＝[1]的所有根为 。
5. 环Z6的全部零因子是 。
6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝ 在Z[√-3 ]中有两种本质不同的分解α＝ = 。 得 分
1. 设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．
（１） 写出H＝< a>的所有元素．
（２） 计算H的所有左陪集和所有右陪集．
（３） 判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．
2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。
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评卷人 复查人 三、解答题（共3０分）
3. 在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。
四、证明题（共30分）
1. 设G是一个阶为偶数的有限群，证明
（１） G中阶大于2的元素的个数一定为偶数； （２） G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。
2. 设φ是环（R，+，·，0，1）到环（R，+，·，0/，1/）的同态满射。N=Kerφ={x|x∈R且φ（x）=0/}, 证明：φ是同构映射当且仅当N={0}。
3. 证明：非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。
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《近世代数》试卷2（时间120分钟）
一、填空题（共20分）
1. 设G＝（a）是6阶循环群，则G的子群有 。
2. 设A、B是集合，| A |＝2，| B |＝3，则共可定义 个从A到B的映射，其中 有 个单射，有 个满射，有 个双射。
3. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ??, [11]｝中，［10］＋［5］＝ ，［10］·［5］＝ ，方程x2＝[1]的所有根为 。
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4. 在5次对称群S5中，（12）（145）＝ ，（4521）1＝ ， （354）的阶为 。
5. 整环Z中的单位有 。
6. 在多项式环Z11［x］中，（［6］x＋［2］）11＝ 。
二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）
1. （ ）若群G的每一个元满足方程x2=e(其中e是G的单位元)，则G是交换群。
2. （ ）一个阶是13的群只有两个子群。
3. （ ）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。
4. （ ）设G是群，H1是G的不变子群，H2是H1的不变子群，则H2是G的不变子群。
5. （ ）主理想整环R上的一元多项式环R[x]是主理想整环。 6. （ ）存在特征是2003的无零因子环。
7. （ ）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。 8. （ ）模21的剩余类环Z21是域。
9. （ ）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。 10. （ ）除环只有零理想和单位理想。 三、解答题（共30分）
1. 设H＝｛（1），（123），（132）｝是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问H是否是S3的不变子群？为什么？
2. 设G是一交换群，n是一正整数，H是G中所有阶数是n的因数的元素的集合。试问：H是否是G的子群？为什么？
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3. 在整数环Z中，求由2004，19生成的理想A=（2004，19）。
四、证明题（共30分）
1. 设I1={4k|k∈Z}, I2={3k|k∈Z}，试证明： （1） I1,I2都是整数环Z的理想。 （2）I1∩I2=(12)是Z的一个主理想。
2. 设R、R都是环，f是环R到R的满同态映射，A是R的理想，试证明：A＝｛a | a∈R且f（a）∈A｝是R的理想。
3. 证明，设S是环（R，＋，·，0，1）的子环，N是R的理想，且S∩N＝｛0｝，则剩余类环R／N有子环与S同构。
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