《近世代数》试卷3（时间120分钟）
一、填空题（共20分）
1. 设G＝（a）是6阶循环群，则G的子群有 。
2. 设A、B是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A到B的映射，其中 有 个单射，有 个满射，有 个双射。
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3. 在4次对称群S4中，（24）（231）＝ ，（4321）1＝ ， （132）的阶为 。
4. 整环Z中的单位有 。 5. 环Z6的全部零因子是 。
6. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为 ，子群H=< a3>的在G中的指数是 。
二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）
1. （ ）一个阶是11的群只有两个子群。
2. （ ）设G是群，H1是G的不变子群，H2是H1的不变子群，则H2是G的不变子群。
3. （ ）素数阶群都是交换群。 4. （ ）循环群的商群是循环群。 5. （ ）模27的剩余类环Z27是域。
6. （ ）存在特征是2004的无零因子环。
7. （ ）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。 8. （ ）域是主理想整环。
9. （ ）域只有零理想和单位理想。
10. （ ）相伴关系是整环R的元素间的一个等价关系。 三、解答题（共30分）
1. 设H＝｛（1），（12）｝是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问H是否是S3的不变子群？为什么？
2. 求模12的剩余类加群(Z12,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。
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3. 在整数环Z中，求由2004，17生成的理想A=（2004，17）。
四、证明题（共30分）
1.设I1={2k|k∈Z}, I2={3k|k∈Z}，试证明： （1） I1,I2都是整数环Z的理想。 （2）I1∩I2=(6)是Z的一个主理想。
2. 设φ是群G到群H的同态满射, H1是H的子群。证明：G1= {x|x∈G且φ（x）∈H1}是G的子群。
3. 设环（R，＋，·，0，1）是整环。证明：多项式环R[x]能与它的一个真子环同构。
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《近世代数》试卷4（时间120分钟）
一、填空题（共20分，每空2分）
1. 设A、B是集合，| A |＝2，| B |＝3，则共可定义 个从A到B的映射，其中 有 个单射，有 个满射，有 个双射。
2. 设G＝（a）是6阶循环群，则G的子群的个数是 。 3. 在剩余类环Z18中，［8］＋［12］＝ ，［6］·［7］＝ 。 4. 环Z6的全部零因子是 。 5. 在多项式环Z17［x］中，（［6］x＋［7］）17＝ 。 6. 在模7的剩余类环Z7中，方程x2＝1的所有根是 。 二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）
1. （ ）交换群的子群是不变子群。
2. （ ）一个阶是11的群只有两个子群。 3. （ ）无零因子环的特征不可能是2004。 4. （ ）有单位元且满足消去律的半群是群。 5. （ ）模21的剩余类环Z21是域。
6. （ ）在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。
7. （ ）若R是主理想整环，则一元多项式环R［x］是主理想整环。 8. （ ）除环只有零理想和单位理想。 9. （ ）欧氏环是唯一分解整环。
10. （ ）无零因子环的同态象无零因子。 三、解答题（第1小题15分，第2、3小题各10分，共35分）
1. 设H＝｛（1），（12）｝是对称群S3的子群，求H的所有左陪集和所有右陪集，试问H是否是S3的不变子群？为什么？
2. 求模12的剩余类环Z12的所有理想。
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3. 在整数环Z中，求由2005，6生成的理想（2005，6）。
四、证明题（第1、2小题各10分，第3小题5分，共25分）
1. 设～是整数集Z上的模7同余关系，试证明～是Z上的等价关系，并求所有等价类。
2. 设R、R都是环，f是环R到R的满同态映射，A是R的理想，试证明A＝｛a | a∈R且f（a）∈A｝是R的理想。
3. 证明，非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。
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