.
∵AC∥BF，
∴△AEG∽△FBG， ∴
=（
）=．
2
16．证明：（1）∵AP∥CD，
∴∠AMD=∠MAN，∠BMD=∠MNA， ∵∠AMD=∠BMD， ∴∠MAN=∠MNA， ∴MN=MA．
（2）如图，连接NC，
∵AP∥CD，且PN=AN． ∴
=
=
，
∴MC=MD，
∴CN为直角△ACP斜边AP的中线， ∴CN=NA，∠NCA=∠NAC， ∵AP∥CD，
∴∠NAC=∠ACD， ∴∠NCM=2∠ACD，
∵∠CMN=∠DMB，∠DMA=∠BMD， ∴∠CMD=∠DMA， 在△CMN和△DMA中，
，
∴△CMN≌△DMA（SAS），
∠ADM=∠NCM=2∠ACD．即：∠CDA=2∠ACD． 17．解：（1）∵S△ACD：S△ADB﹦1：2， ∴BD=2CD， ∵DC=3，
∴BD=2×3=6，
∴BC=BD+DC=6+3=9， ∵∠CAD=∠B，∠C=∠C， ∴△ABC∽△DAC， ∴
=
，
Word 资料
.
即=，
解得AC=3；
（2）由翻折的性质得，∠E=∠C，DE=CD=3， ∵AB∥DE， ∴∠B=∠EDF， ∵∠CAD=∠B， ∴∠EDF=∠CAD， ∴△EFD∽△ADC， ∴
=（
）=（
2
）=
2
18．（1）证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴BE=CE，
∴∠B=∠DCF， ∵AD=AC，
∴∠FDC=∠ACB， ∴△ABC∽△FCD；
（2）解：过A作AG⊥CD，垂足为G． ∵AD=AC， ∴DG=CG，
∴BD：BG=2：3， ∵ED⊥BC， ∴ED∥AG，
∴△BDE∽△BGA，
∴ED：AG=BD：BG=2：3， ∵DE=3， ∴AG=，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD， ∴
=（
）=．
2
∵S△ABC=×BC×AG=×8×=18， ∴S△FCD=S△ABC=．
Word 资料
.
19．（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B=60°，
由三角形的外角性质得，∠ADE+∠FDE=∠BAD+∠B， ∵∠ADE=60°， ∴∠BAD=∠FDE；
（2）解：如图，过点D作DH∥AC交AB于H， ∵△ABC为等边三角形， ∴△BDH是等边三角形， ∴∠BHD=60°，BD=BH， ∴∠AHD=°﹣60°=120°，
∵CE是△ABC的外角平分线， ∴∠ACE=（°﹣60°）=60°， ∴∠DCE=60°+60°=120°， ∴∠AHD=∠DCE=120°，
又∵AH=AB﹣BH，CD=BC﹣BD， ∴AH=CD，
在△AHD和△DCE中，
，
∴△AHD≌△DCE（ASA）， ∴AD=DE， ∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=∠DEA=60°，AE=AD=5，
∵∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=60°﹣∠CAD， ∠EAG=∠DAE﹣∠CAD=60°﹣∠CAD， ∴∠BAD=∠EAG， ∴△ABD∽△AEG， ∴即
=
，
=，
．
解得AG=
Word 资料
.
20．解：（1）设x秒时，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ面积为8cm， 由题意得（6﹣x）?2x=8，解之，得x1=2，x2=4，
经过2秒时，点P到距离B点4cm处，点Q到距离B点4cm处；
或经4秒，点P到距离B点2cm处，点Q到距离B点8cm处，△PBQ的面积为8cm， 综上所述，经过2秒或4秒，△PBQ的面积为8cm；
（2）当P在AB上时，经x秒，△PCQ的面积为：×PB×CQ=×（6﹣x）（8﹣2x）=12.6， 解得：x1=
（不合题意舍去），x2=
，
2
2
2
经x秒，点P移动到BC上，且有CP=（14﹣x）cm，点Q移动到CA上，且使CQ=（2x﹣8）cm， 过Q作QD⊥CB，垂足为D，由△CQD∽△CAB得即 QD=
由题意得（14﹣x）?
，
=12.6，解之得x1=7，x2=11．
2
，
经7秒，点P在BC上距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使△PCQ的面积等于12.6cm． 经11秒，点P在BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm处，14＞10，点Q已超出CA的围，此解不存在．
综上所述，经过7秒和
秒时△PCQ的面积等于12.6cm
2
21．（1）证明：如图，
∵线段DB顺时针旋转60°得线段DE， ∴∠EDB=60°，DE=DB． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°． ∴∠EDB=∠B． ∴EF∥BC．
∴DB=FC，∠ADF=∠AFD=60°．
∴DE=DB=FC，∠ADE=∠DFC=120°，△ADF是等边三角形． ∴AD=DF．
∴△ADE≌△DFC．
Word 资料
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