.
∴===，
又∵∠A=∠BCD， ∴∠ACD=∠B， ∴△CED∽△BFD， ∴∠CDE=∠BDF，
∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠BDF+∠CDF=∠CDB=90°．
27．解；（1）∵AB∥CE， ∴∠A=∠DCE，
又∵∠ADB=∠EDC， ∴△ABD∽△CED；
（2）①过点E作EH⊥BF于点H，
∵△ABC是等边三角形，△ABD∽△CED，AB=6，AD=2CD， ∴
=
=，∠A=∠ACB=60°，
∴CE=3， ∵AB∥CE，
∴∠A=∠DCE=60°，
∴∠ECH=°﹣∠ACB﹣∠DCE=°﹣60°﹣60°=60°， ∴EH=CE?sin60°=3×
=
；
②在Rt△ECH中， ∵∠ECH=60°，CE=3， ∴CH=CE?cos60°=3×=， ∴BH=BC+CH=6+=
，
∴BE===3．
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.
28．（1）解：∵AC=AC′，AB=AB′， ∴
由旋转可知：∠CAB=∠C′AB′，
∴∠CAB+∠EAC′=∠C′AB′+∠EAC′，即∠CAC′=∠BAB′， 又∵∠ACB=∠AC′B′=90°， ∴△ACC′∽△ABB′， ∵AC=3，AB=4， ∴
=
=；
（2）证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的， ∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，（1分） ∴∠CAC′=∠BAB′，
∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C， ∴∠ACC′=∠ABB′，（3分） 又∵∠AEC=∠FEB， ∴△ACE∽△FBE．（4分）
（3）解：当β=2α时，△ACE≌△FBE．理由： 在△ACC′中， ∵AC=AC′， ∴∠ACC′=∠AC′C=
=
=
=90°﹣α，在Rt△ABC中，
∠ACC′+∠BCE=90°， 即90°﹣α+∠BCE=90°， ∴∠BCE=90°﹣90°+α=α， ∵∠ABC=α， ∴∠ABC=∠BCE，（8分） ∴CE=BE，
由（2）知：△ACE∽△FBE， ∴△ACE≌△FBE．（9分）
29．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠DAE=120°， ∴∠DAB+∠CAE=60°， ∵∠ABC是△ABD的外角， ∴∠DAB+∠D=∠ABC=60°， ∴∠CAE=∠D，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
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6分）（
.
∴∠ABD=∠ACE=120°， ∴△ABD∽△ECA；
（2）∵△ABD∽△ECA， ∴
=
，即AB?AC=BD?CE，
∵AB=AC=BC， ∴BC=BD?CE
2
30．
（1）证明：∵AC=CD=DE=EB=又∠C=90°， ∴AD=2， ∴∴
==
，，
=
=
，
，
又∵∠ADE=∠BDA， ∴△ADE∽△BDA；
（2）证明：∵△ADE∽△BDA， ∴∠DAE=∠B，
又∵∠ADC=∠AEC+∠DAE， ∴∠ADC=∠AEC+∠B；
（3）解：∵点P为线段AB上一动点， 根据勾股定理得：AE=∴PE的最大值为作EF⊥AB，则EF=∴
≤EP≤
，
．
，则PE的最小值为
=
，BE=
，
∵EP为整数，即EP=1，2，3， 结合图形可知PE=1时有两个点， 所以PE长为整数的点P个数为4个．
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