课堂达标(三) 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
[A基础巩固练]
1．(2018·百校联盟四月质检)已知命题p：?x∈(1，＋∞)，x＋16＞8x，则命题p的否定为( )
A．綈p：?x∈(1，＋∞)，x＋16≥8x B．綈p：?x∈(1，＋∞)，x＋16＜8x C．綈p：?x0∈(1，＋∞)，x0＋16≤8x0 D. 綈p：?x0∈(1，＋∞)，x0＋16＜8x0
[解析] 全称命题的否定为特称命题，故其否定为綈p：?x0∈(1，＋∞)，x0＋16≤8x0.选C.
[答案] C
2．(2018·广东省潮州市二模)已知命题“?x∈R，ax＋4x＋1＞0”是假命题，则实数
2
3
3333
3
a的取值范围是( )
A．(4，＋∞) C．(－∞，4]
2
B．(0,4] D．[0,4)
2
[解析] ∵命题“?x∈R，ax＋4x＋1＞0恒成立”是假命题，∴命题“?x0∈R，使ax0
＋4x0＋1≤0”是真命题，
??a＞0∴a≤0，或?
??Δ＝16－4a≥0
，解得a≤0或0＜a≤4.故选C.
[答案] C
3．(2018·山东青岛三中模拟)设α，β为两个不同平面，m，n为两条不同的直线，且m?α，n?β，有两个命题：
p：若m∥n，则α∥β；q：若m⊥β，则α⊥β.
那么( )
A．“(綈p)或q”是假命题 C．“p或(綈q)”是真命题
B．“(綈p)且q”是假命题 D．“(綈p)且q”是真命题
[解析] 若分别位于两个平面内的两条直线平行，则这两个平面可能平行，也可能相交，故命题p为假；由面面垂直的判定定理可知命题q为真，故(綈p)且q是真命题．
[答案] D
4．(2018·唐山一模)已知命题p：?x0∈N，x0＜x0；命题q：?a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝loga(x－1)的图象过点(2,0)，则( )
A．p假q真 C．p假q假
B．p真q假 D．p真q真
3
2
1
[解析] 由x0＜x0，得x0(x0－1)＜0，解得x0＜0或0＜x0＜1，在这个范围内没有自然数，∴命题p为假命题；∵对任意的a∈(0,1)∪(1，＋∞)，均有f(2)＝loga1＝0，∴命题
322
q为真命题．
[答案] A
1
5．(2018·福建省三明市二模)已知命题p1：若sin x≠0，则sin x＋≥2恒成立；
sin xxp2∶x＋y＝0的充要条件是＝－1，则下列命题为真命题的是( )
yA．p1∧p2 C．p1∧(￢p2)
B．p1∨p2 D．(￢p1)∨p2
1
[解析] 命题p1：若sin x≠0，则sin x＋≥2恒成立；是假命题，比如sin xsin x＝－1时不成立，
xp2∶x＋y＝0的充要条件是＝－1，是假命题，比如y＝0时，不成立，故(￢p1)∨p2是
y真命题，故选D.
[答案] D
6．(2018·江西赣州二模)对于下列说法正确的是( ) A．若f(x)是奇函数，则f(x)是单调函数
B．命题“若x－x－2＝0，则x＝1”的逆否命题是“若x≠1，则x－x－2＝0” C．命题p：?x∈R,2＞1024，则￢p：?x0∈R，2x0<1024 D．命题“?x0∈(－∞，0)，2x0＜x0”是真命题
1
[解析] 对于A，若f(x)是奇函数，则f(x)是单调函数，不一定，比如y＝不是单调
2
2
2
xx函数，在(－∞，0)，(0，＋∞)递减，故A错；
对于B，命题“若x－x－2＝0，则x＝1”的逆否命题是“若x≠1，则x－x－2≠0”，故B错；
对于C，命题p：?x∈R,2＞1024，则￢p：?x0∈R，2x0≤1024，故C错；
12－1
对于D，命题“?x0∈(－∞，0)，2x0＜x0”是真命题，正确，比如x＝－1,2＝＜1.
2故选D.
[答案] D
7．(2018·安徽合肥一模)命题：“?x0∈R，x0－ax0＋1＜0”的否定为________． [解析] 写命题否定时，除结论要否定外，存在量词与全称量词要互换，因此命题“?
2
2
2
xx∈R，x2－ax＋1＜0”的否定是“?x∈R，x2－ax＋1≥0”．
[答案] ?x∈R，x－ax＋1≥0
2
2
?ππ?8．(2018·枣庄一模)若“?x∈?－，?，m≤tan x＋1”为真命题，则实数m的最?44?
大值为 ________ .
?ππ?[解析] “?x∈?－，?，m≤tan x＋1”为真命题，可得－1≤tan x≤1，∴0≤tan ?44?
x＋1≤2，∴实数m的最大值为0.
[答案] 0
9．(2018·长沙联考)若命题“?x0∈R，x0＋mx0＋2m－3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是 ________ .
[解析] 由题意可知，命题“?x∈R，x＋mx＋2m－3≥0”为真命题，故Δ＝m－4(2m－3)＝m－8m＋12≤0，解得2≤m≤6.
[答案] [2,6]
12
10．(2018·湖北黄冈市高三月考科)设命题p：?x∈[1,2]x－ln x－a≥0，命题q：
2?x0∈R，使得x0＋2ax0－8－6a≤0，如果命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，
2
2
2
2
2
求实数a的取值范围．
12
[解] 命题p：?x∈[1,2]，a≤x－ln x，
2
121x－111
令f(x)＝x－ln x，x∈[1,2]，f′(x)＝x－＝>0，∴fmin(x)＝f(1)＝，∴a≤.
2xx22命题q∶x＋2ax－8－6a≤0解集非空，Δ＝4a＋24a＋32≥0，∴a≤－4，或a≥－2.命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，则p真q假或p假q真．
(1)当p真q假，－4＜a＜－2； 1
(2)当p假q真，a>
2
2
2
2
?1?综合，a的取值范围(－4，－2)∪?，＋∞?. ?2?
[B能力提升练]
1．(2018·重庆模拟)已知命题p1：函数y＝2－2在R上为增函数，p2：函数y＝2
－xx－xx＋2在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是( )
A．q1，q3 C．q1，q4
B．q2，q3 D．q2，q4
?1?x－xx[解析] 法一：函数y＝2－2＝2＋?－x?是两个增函数的和，所以p1是真命题；因
?2?
为函数y＝2＋2是偶函数，所以它不可能是R上的减函数，所以p2是假命题．由此可知
x－x 3
q1真，q2假，q3假，q4真．故选C.
法二：函数y＝2－2是一个增函数与一个减函数的差，故函数y＝2－2在R上为增函数，p1是真命题；
x－xx－x?x1?x而对p2：y′＝2ln 2－ln 2＝ln 2×?2－x?，
2??
1x当x∈[0，＋∞)时，2≥x，又ln 2＞0，所以y′≥0，
2
函数单调递增；同理得当x∈(－∞，0)时，函数单调递减，故p2是假命题．由此可知，
q1真，q2假，q3假，q4真．故选C.
[答案] C
4?1??x∈[2,3]
2．(2018·郑州一模)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若?x1∈?，3?，2
x?2?使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是( )
A．a≤1 C．a≤0
B．a≥1 D．a≥0
?1?[解析] ∵x∈?，3?，∴f(x)≥2
?2?
2
x·＝4，当且仅当x＝2时，f(x)min＝4，当x∈x4
[2,3]时，g(x)min＝2＋a＝4＋a，依题意f(x)min≥g(x)min，∴a≤0，故选C.
[答案] C
3．(2018·成都模拟)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“?x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－
x0)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝ ________ .
[解析] 若“?x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则“?x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命题，即f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，则a＋b＝0，即f(a＋b)＝0.
[答案] 0
4．已知命题p：“?x∈[0,1]，a≥e”；命题q：“?x0∈R，使得x0＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为________．
[解析] 若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题． 由?∈x[0,1]，a≥e，得a≥e； 由?x0∈R，使x0＋4x0＋a＝0，
知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4. 则实数a的取值范围为[e,4]． [答案] [e,4]
5．设命题p：实数x满足x－4ax＋3a＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足
2
2
2
2
x 4
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