福师大点集拓扑学练习题答案

③ 若A={x1,x2},则d(A)?X ④ 若A?X, 则d(A)?X 答案：④ 14、设X?{,abcd,,}，令B?{,abc,}{},{},}cd,则由B产生的X上的拓扑是（ ）

① { X,?,{c},{d},{c,d},{a,b,c}} ② {X,?,{c},{d},{c,d}} ③ { X,?,{c},{a,b,c}}

④ { X,?,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}}

答案：①

15、离散空间的任一子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭

答案：③

16、平庸空间的任一非空真子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭

答案：④

17、实数空间R中的任一单点集是 ( )

① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭

答案：②

18、实数空间R的子集A ={1,, ,,……},则A＝（ ）

①φ ② R ③ A∪{0} ④ A

答案：③ 19、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（ ）

① 整数集 ② ?a,b? ③ 有理数集 ④ 无理数集

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答案：① 20、在实数空间R中，下列集合是开集的是（ ）

① 整数集Z ② 有理数集 ③ 无理数集 ④ 整数集Z的补集Z?

答案：④

21、已知X?{1,2,3}上的拓扑T?{X,?,{1}},则点1的邻域个数是（ ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4

答案：④ 22、已知X?{a,b},则X上的所有可能的拓扑有（ ）

① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个

答案：④ 23、在实数下限拓扑空间R中，区间[a,b)是（ ）

① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭

答案：③

24、设X是一个拓扑空间，A,B?X,且满足d(A)?B?A,则B是（ ① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭

答案：②

.证明题(52分):

1. 设X有拓扑T1,TTn2,...n,??i?1Ti也是拓扑. 证:

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））

四(1)?X,??Ti,i?1,2,...n,?X,???in?1Ti(2)?A,B??in?1Ti,?A,B?Ti,i?1...n.?A?B?Ti,i?1...n,?A?B??in?1Ti~~ (3)?T??in?1Ti,?T?Ti,i?1...n,??A?T~A?Ti,i?1...n,??A?T~A??in?1Tin?所以i?1Ti也是拓扑.

2.度量空间中收敛序列的极限是唯一的. 证:设{xi}i?Z?→x, {xi}i?Z?→y, 则B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)=?. 对于B(x,ρ(x,y)/3),存在N1>0,当i>N1时 有xi? B(x,ρ(x,y)/3)

对于B(y,ρ(x,y)/3),存在N2>0,当i>N2时 有xi? B(y,ρ(x,y)/3) 取N=max{N1,N2},则当i>N时 有xi? B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3) 与B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)=?.矛盾

3.设X是一个拓扑空间,B是一个基,x∈X,则Bx={B∈B|x∈B}是点x处的一个邻域基.

见P.82 定理2.6.7

4.在欧氏平面R2中令Y={(0,y)|y∈R}∪{(x,0)|x∈R},证明:Y与实数空间R不同胚.(提示:用反证法)

证:设Y与实数空间R同胚.则仍有Y-{0,0}与R-{0}同胚.但Y-{0,0}有四个连通分支,而R-{0}却只有两个连通分支.而连通性是拓扑不变的,得到矛盾.所以Y与实数空间R不同胚.

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