2020-2021 学年初三数学上册同步练习：正多边形和圆

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2020-2021 学年初三数学上册同步练习：正多边形和圆

1. 下列边长为a 的正多边形与边长为 a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( )

(1)正三角形

(2)正五边形 (3)正六边形

(4)正八边形 C．(1)(3)

A．(1)(2)

B．(2)(3)

D．(1)(4)

【答案】B

, 据此解答即可. 【解析】【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为 360°

【详解】

60°90°解：①正三角形的每个内角是 60°，正方形的每个内角是 90°．∵3×＋2×＝360°，∴能镶嵌平面；

②正方形的每个内角是 90°，正五边形每个内角是 180°?360°÷5＝108°，90m＋108n＝360°，显然 n 取任何正整数时，m 不能得正整数，不能镶嵌平面；

③正方形的每个内角是 90°，正六边形的每个内角是 120 度．90m＋120n＝360°，m＝4? n ，显然n 取任

4

3

何正整数时，m 不能得正整数，不能镶嵌平面；

④正方形的每个内角是 90°135°，正八边形的每个内角为 180°?360°÷8＝135°，∵90°＋2×＝360°，∴能镶嵌平面． 故选：B．

【点评】本题主要考查的是图形的镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．

a3：a4：a6 等2. 若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别记作 a3 ， a4 ， a6 ， 则 于 （ ）

A．1： 2 ： 3

B．1：2：3 C．3：2：1

D． 3 ： 2 ：1

【答案】D

【解析】【分析】从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得．

【详解】

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解：设圆的半径是 r， 则多边形的半径是 r，

1，则内接正三角形的边长 a3=2rsin60°= 如图

3 r，

2，内接正方形的边长是a4=2rsin45°= 如图

2 r，

如图 3，正六边形的边长是a6=r，

∴半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比 a3：a4：a6= 3 ： 2 ：1．

故选：D．

【点评】本题考查了正多边形和圆，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．

3. 半径为 3cm，圆心角为 120°的扇形的面积为（ ）

D．3πcm2

【解析】【分析】扇形面积公式为：??????，代入求值即可．

360

2

A．6πcm2 【答案】D

B．5πcm2 C．4πcm2

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【详解】

利用面积公式可得

120??×9360

=3πcm2．

故选D．

【点评】本题主要考查了学生的扇形面积公式．

4. 如图， A 、B 、C 、D 为一个外角为40 的正多边形的顶点．若O 为正多边形的中心，则?OAD ? ．

【答案】30°

【解析】【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360 ，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数， 再根据正多边形的中心角的概念求出∠AOD 的度数，再由正多边形的半径OA=OD，根据等腰三角形的性质求解即可.

【详解】

多边形的每个外角相等，且其和为360 ，

360 据此可得多边形的边数为： ? 9 ，

40

360??

=120°∴∠AOD=3× ， 9

∵OA=OD，

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180? ?120??

=30°∴∠OAD=∠ODA= ，

2

. 故答案为：30°

【点评】本题考查了正多边形的外角，正多边形的中心角、半径，等边对等角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.

5. 如图，两个同心圆的半径分别为 1 和 2， ?AOB ? 120? ，则阴影部分面积是

.

【答案】 π

【解析】【分析】阴影部分的面积=大扇形-小扇形，所以依面积公式计算即可．

【详解】

120? ??4 ?1??

=π． 阴影部分的面积=

360

【点评】根据扇形面积公式计算即可．

6. 同圆的内接正 n 边形与外切正 n 边形边长之比是

.

【答案】cos180

0

??

.

【解析】【分析】先根据题意画出图形，再设圆的半径为 R，由垂径定理及锐角三角函数的定义即可求解．

【详解】

解：如图所示，设圆的半径为R，

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∵∠AOF=

360° 180°

= 2?? ??

∴AB=2AF=2Rsin

180°??

；

180°??

同理，∵∠DOF=

360° 2?? = ，

∴CD=2DE=2Rtg

180°??

，

180°?? 180°??

∴AB：CD=2Rsin

180°?? ：2Rtg＝cos．

同圆的内接正 n 边形与外切正 n 边形边长之比是 cos

180°

??

．

故答案为：cos

180°??

．

题的关键．

【点评】本题考查的是正多边形和圆、垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合是解答此

7. 如图，已知等腰△ ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，请用圆规和直尺作出△ ABC 的外接圆．并计算

此外接圆的半径．

【答案】见解析

【解析】【分析】作出 AB，AC 的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆心，以交点为圆心，交点到三角形的顶点为半径画圆可得△ ABC 的外接圆；再根据垂径定理得出∠BAO=60°，得出△ ABO 为等边三角形， 从而求得外接圆的半径．