【第四单元混合运算】
在教学本单元内容之前，学生已经较好地掌握了加、减、乘、除四则计算，能进行连加、连减、加减混合，连乘、连除、乘除混合等同级的两步运算，还初步接触了乘加、乘减的计算。本单元教学混合运算，把计算题从加减或乘除的同级运算扩展到加（减）乘（除）不同级运算，要求学生体会并掌握运算顺序的知识，学会使用递等式表示运算过程与步骤，初步运用混合运算解答两步计算的实际问题。
混合运算是对四则计算的综合应用，进行混合运算能够更好地掌握加、减、乘、除法的口算与笔算。进行混合运算，要认真分析算式里有哪些运算，要联想并遵循有关的运算顺序规定，要按运算顺序逐步计算，这些思考能够提高演绎推理的水平。解答两、三步计算的实际问题，可以分步列式计算，也可以列综合算式计算，如果列综合算式，就要进行四则混合运算，教学混合运算方便了解决实际问题。
小学数学整数的混合运算以两步计算为主，一般不超过三步。两步计算的算式里通常只有两个运算，只应用一条运算顺序。三步计算的算式里通常有三个运算，进行第一步运算往往要同时兼顾两条运算顺序。显然，两步计算的混合运算比三步计算的混合运算容易得多。教科书考虑到三年级学生的实际水平，本单元只教学两步计算的混合运算。编排三道例题，具体安排如下表：
例1 乘法和加（减）法的混合运算 例2 除法和加（减）法的混合运算 例3 小括号的作用，含有小括号的混合运算
从表格里可以看到，教科书把“算式中有乘除法，也有加减法，要先算乘除法，后算加减法”这一条运算顺序，分成“有乘法也有加减法”“有除法也有加减法”两段，各编排一道例题教学。这是因为本单元只涉及两步计算的混合运算，在含有不同级运算的式子里，只会是乘法与加法、乘法与减法、除法与加法、除法与减法四种情况，不可能既有乘法与除法，又有加法与减法。先编排乘法与加法或减法的混合运算，再编排除法与加法或减法的混合运算，降低了认知难度，能够方便教与学。
在一个混合运算的算式里，如果加上小括号，就会改变算式原来的运算顺序。例3教学小括号的知识，既要学生认识小括号，知道其作用，又要学生体会含有小括号的混合运算的顺序，知道要先算小括号里面的运算。
（一） 联系解决实际问题，体会运算顺序
运算顺序是进行四则混合运算应该遵循的规定，是人类在长期实践与计算活动中逐渐形成的共同规则。人们都遵循运算顺序，才能保障计算结果唯一且一致。为什么在有乘（除）法和加（减）法的混合运算中要先算乘（除）法？为什么要先算小括号
里面的运算？教材让学生结合现实的素材体会运算顺序的合理性。这就是把运算顺序的教学与列综合算式解决实际问题的教学相结合的主要原因。
教学运算顺序的三道例题，设计了不同的教学方法。
1. 例1的教学方法是先唤醒已有经验，再扩大外延，在同一类型的多种具体现象中抽取共同的特征，这就是教学的运算顺序
例题先分步解答“买3本笔记本和1个书包一共用去多少元”这个实际问题，再列出综合算式5×3+20，这是学生在二年级上册已经接触过的“乘加”，他们已经有“先算乘法”的经验。教材及时指导学生用递等式按步骤计算，写出两步计算的过程，初步感受运算顺序。
例题接着解决“买2盒水彩笔，付出50元，应该找回多少元”这个实际问题，直接列出综合算式50-15×2，让学生结合实际问题想到要先算2盒水彩笔的钱，从而体验这个算式要先算乘法。例题要求学生用递等式写出混合运算的步骤，亲自践行“先算乘法、后算减法”的运算顺序。
例题总结5×3+20和50-15×2的运算顺序，得出“算式中有乘法和加、减法，应先算乘法”的规律，这是例1所教学的运算顺序。
从上面的分析可以看到，运算顺序是例题的教学重点，列综合算式与用递等式计算是与运算顺序有关的两个知识点，而且是教学难点。有关综合算式的教学在后面说明，这里只说递等式计算。
综合算式要按运算顺序分步计算，含有两个运算符号的算式一般分两步计算。递等式的第一步先进行一个运算，并写出这一个运算的得数，暂时不进行的另一个计算照原来样子写下来。学生初学递等式会显得不太习惯，并出现一些错误。为此，可以在综合算式里先进行的那步运算的下面画一条横线，并把得数写在横线下面。至于综合算式里没有画横线的运算，照样子写在原来的位置上。如：
5×3+20 50-15×2 =15+20 =50-30
=35=20教材考虑到学生独立书写递等式的困难，所以“想想做做”第1题在递等式中留出一些方框，让学生在方框里填数，“扶”着他们写出递等式。第2题罗列了写递等式的一些常见错误，让学生识别并改正，帮助他们掌握递等式的写法。
2. 例2仍然按照“解决实际问题—计算数学式子—概括运算顺序”的线索教学，给学生的活动空间比例1大。
已知一个订书机12元，一盒钢笔有5支，每盒40元。求买一支钢笔和一个订书机一共应付多少元。根据所求问题的数量关系式列综合算式，可以写成40÷5+12，可
以写成12+40÷5。两个算式虽然不完全相同，但都要先算一支钢笔的价钱，即先算式子里的“40÷5”。比较这两个综合算式，都有加法和除法，无论除法在加法的前面还是在加法的后面，都需要先算一支钢笔的价钱。这就表明，算式里有加法和除法，应该先算除法。
“试一试”求“1盒水彩笔比一支钢笔贵多少元”，列出的综合算式“15-40÷5”里有除法和减法，为了先求出一支钢笔的价钱，应该先算除法。
概括例题和“试一试”里的运算顺序，可以得出“算式中有除法和加、减法，应先算除法”。
上述的例题和“试一试”，呈现实际问题的情境以后，综合算式要学生列，运算顺序要学生体会，递等式要学生完成，给了学生较大的活动空间。由此得出的运算顺序就不是机械接受的知识，而是意义建构的数学认识。学生已经有用递等式表示运算顺序的经验，例题让他们完成两个综合算式的计算，注意到这两个综合算式都先算除法，但除法在综合算式里的位置不同，商应写的位置随之也不同。
3. 例3凸显新的认知矛盾，引出小括号，指出小括号的作用，形成含有小括号的算式的运算顺序。
例3要解决的实际问题是“用50元钱买1个单价20元的书包，剩下的钱还能买几本单价5元的笔记本？”无论先分步解答，再合并成综合算式，还是直接列综合算式，学生都可能写成“50-20÷5”。这就出现了一个矛盾：解决实际问题需要先算买了1个书包后还剩下多少钱（即先算综合算式里的减法），而算式50-20÷5应该先算除法（已有的运算顺序）。怎样解决这个矛盾？教材告诉学生：“这里要先算减法，列综合算式必须添上小括号”，并把综合算式改写成“（50-20）÷5”。这句话既引出了小括号，又阐述了小括号的作用。因此，算式里有小括号时，应该先算括号里的运算。学生在认知冲突中意义接受了小括号的知识，体会到运算顺序是合理的规定。
（二） 在教学运算顺序的同时，教学列综合算式解答两步计算的实际问题 过去，学生解答两步计算实际问题都分步列式。本单元列综合算式解答两步计算的实际问题，为教学运算顺序找到了载体，也进一步提高了学生解决实际问题的能力。况且，学生已经两次学习了解决问题的策略，既能够从条件向问题推理，也能够从问题向条件推理，具备了学习综合算式的条件。教材在教学综合算式时作了下面的安排。
（1） 初步体会。
列解决实际问题的综合算式，一般有两种方法。一种是先列出分步解答的算式，通过“代入”，把分步算式合并成综合算式。另一种是根据所求问题的数量关系式，不经过分步解答，直接列出综合算式。
解答例1的第一个问题，采用了分步算式合并成综合算式的方法，即把第一步求3本笔记本要多少元的算式“5×3”代替第二步算式里的“15”，形成求“一共用去多少元”的综合算式“5×3+20”。
解答例1的第二个问题，采用了直接列出综合算式的方法。所求问题的数量关系式是“从50元里去掉2盒水彩笔的钱，就是应找回的钱”，其中2盒水彩笔的钱要通过“15×2”先算出来，综合算式列成“50-15×2”。
解答第一个问题采用分步算式合并成综合算式，能够让学生体会什么是分步列式、什么是综合算式，感受列综合算式解决问题比分步列式快捷。解答第二个问题直接列出综合算式，希望学生学会这种方法，使用综合算式解答两步计算的实际问题。
（2） 逐渐学会。
学生列综合算式不能长时间停留在先分步解答，再把分步算式合并的方法上。因为分步解答已经解决了实际问题，再列综合算式对解题就没有意义了。所以，要让学生学会直接列出综合算式的本领。
例2以及“试一试”“想想做做”里，继续解答“求两个数一共多少”“求两个数相差多少”等两步计算的问题，都是学生比较熟悉的问题，他们能够顺利地说出所求问题的数量关系式，即能够找到直接列出综合算式的“参照物”。
综合算式可以依据所求问题的数量关系式列出。在两步计算问题的数量关系式里，一般直接已知一个数量，间接给出另一个数量。直接已知的数量可以直接应用到综合算式里去，间接给出的数量可以用算式表示。教材突出列综合算式时应该依据问题的数量关系式，引导学生逐渐养成先思考所求问题的数量关系，再列出综合算式的习惯。例2里两个小卡通的交流“用1支钢笔的价钱加上一个订书机的价钱”“用1个订书机的价钱加上1支钢笔的价钱”，讲的都是所求问题的数量关系，是列出综合算式的依托。“试一试”和“想想做做”里的实际问题，都应要求学生直接列出综合算式解答。
（3） 学习思辨。
例3的解题思路是先算出买书包后剩下的钱，再算剩下的钱还可以买几本笔记本，解决问题的数量关系是“剩下的钱÷笔记本的单价”。在算式50-20÷5里，有减法和除法，应该先算“20÷5”，与解决实际问题的步骤有矛盾。为了先算这个算式里的减法，需要在算式里添上括号，把减法那部分括起来，让它先算。这里就有对算式50-20÷5进行思辨的活动，在算式里添上小括号是思辨的结果。
要重视这样的识别能力与习惯的培养。配合例3的“想想做做”第4题，买一件上衣要48元，买一条裤子要36元。买15套这样的衣服应付多少元？解答这个问题要先算出1套衣服的价钱，即先算出买1件上衣和1条裤子一共要的钱，再算买15套应
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