专题五 平面解析几何
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[高考点拨] 平面解析几何是浙江新高考的重点内容，常以“两小一大”呈现，两小题主要考查直线与圆的位置关系．双曲线的图象和性质(有时考查抛物线的图象和性质)，一大题常考查以椭圆(或抛物线)为背景的图象和性质问题．基于上述分析，本专题将从“直线与圆”“圆锥曲线的定义、方程、几何性质”“圆锥曲线中的综合问题”三条主线引领复习和提升．
突破点11 直线与圆
(对应学生用书第41页)
[核心知识提炼]
提炼1 圆的方程 (1)圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)＋(y－b)＝r，特别地，当圆心在原点时，方程为x＋y＝r. (2)圆的一般方程
2
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2
2
DE?D2＋E2－4F? x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D＋E－4F＞0，表示以?－，－?为圆心，为2?2?22
2
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2
半径的圆.
提炼2 求解直线与圆相关问题的两个关键点
(1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理．
1
(2)两个公式：点到直线的距离公式d＝距d)．
提炼3求距离最值问题的本质
|Ax0＋By0＋C|22，弦长公式|AB|＝2r－d(弦心22
A＋B (1)圆外一点P到圆C上的点距离的最大值为|PC|＋r，最小值为|PC|－r，其中r为圆的半径．
(2)圆上的点到直线的最大距离是d＋r，最小距离是d－r，其中d为圆心到直线的距离，
r为圆的半径．
(3)过圆内一点，直径是最长的弦，与此直径垂直的弦是最短的弦．
[高考真题回访]
回访1 两条直线的位置关系
1．(2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A [若直线l1与l2平行，则a(a＋1)－2×1＝0，即a＝－2或a＝1，所以a＝1是直线
l1与直线l2平行的充分不必要条件．]
2．(2011·浙江高考)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.
1 [∵直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直， ∴2－2m＝0，∴m＝1.] 回访2 圆的方程
3．(2016·浙江高考)已知a∈R方程ax＋(a＋2)y＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(－2，－4) 5 [由二元二次方程表示圆的条件可得a＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝5?1?22222
2时，方程为4x＋4y＋4x＋8y＋10＝0，即x＋y＋x＋2y＋＝0，配方得?x＋?＋(y2?2?52
＋1)＝－<0，不表示圆；
4
当a＝－1时，方程为x＋y＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)＋(y＋4)＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.]
4．(2015·浙江高考)已知实数x，y满足x＋y≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________．
15 [∵x＋y≤1，∴2x＋y－4<0,6－x－3y>0，∴|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝4－2x－y＋6－x－3y＝10－3x－4y.
2
2
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2
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2
2
22
2
令z＝10－3x－4y，
4
如图，设OA与直线－3x－4y＝0垂直，∴直线OA的方程为y＝x.
3
4??y＝x，
联立?3
??x2＋y2＝1，
4??3
得A?－，－?，
5??5
?3??4? ∴当z＝10－3x－4y过点A时，z取最大值，zmax＝10－3×?－?－4×?－?＝15.]
?5??5?
x2y2
5．(2013·浙江高考)如图11-1，点P(0，－1)是椭圆C1：2＋2＝1(a＞b＞0)的一个顶点，
abC1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交
圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.
图11-1
(1)求椭圆C1的方程；
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程． [解] (1)由题意得?
?b＝1，???a＝2.
2分
所以椭圆C的方程为＋y＝1. 4
x2
2
5分
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.
6分
3
又圆C2：x＋y＝4，故点O到直线l1的距离d＝
4k＋3
. k2＋1
222
1
k2＋1
，
所以|AB|＝24－d＝22 7分
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.
??x＋ky＋k＝0，由?22
??x＋4y＝4
消去y，整理得(4＋k)x＋8kx＝0，
2
22
8k8k＋1 故x0＝－，所以|PD|＝22.
4＋k4＋k8分
2
184k＋3
设△ABD的面积为S，则S＝|AB|·|PD|＝， 2
24＋k 所以S＝
2
11分
324k＋3＋
13
2
≤2
2324k＋3·
13
2
161310
＝，当且仅当k＝±时取
132
4k＋3
4k＋3
等号．
所以所求直线l1的方程为y＝±
10
x－1. 15分 2
回访3 直线与圆、圆与圆的位置关系
6．(2014·浙江高考)已知圆x＋y＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( ) A．－2 C．－6
2
2
2
2
B．－4 D．－8
B [由圆的方程x＋y＋2x－2y＋a＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r＝2－a.圆心到|－1＋1＋2|?4?222
直线x＋y＋2＝0的距离为d＝＝2.由r＝d＋??得2－a＝2＋4，所以a?2?2＝－4.]
7．(2013·浙江高考)直线y＝2x＋3被圆x＋y－6x－8y＝0所截得的弦长等于__________． 4 5 [圆的方程可化为(x－3)＋(y－4)＝25，故圆心为(3,4)，半径r＝5.又直线方程为2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝
|2×3－4＋3|
4＋1
＝5，所以弦长为2
2
22
2
r2－d2＝2×25－5＝220＝4 5.]
1222
8．(2015·浙江高考)如图11-2，已知抛物线C1：y＝x，圆C2：x＋(y－1)＝1，过点
4
P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．
4
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