[方法指津]
1．直线(圆)与圆的位置关系的解题思路
(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较． (2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点的距离，利用勾股定理计算． 2．弦长的求解方法
(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l＝2r－d(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)．
(2)根据公式：l＝1＋k|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)．
(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解．
[变式训练2] (1)(2017·金丽衢十二校高三第二次联考)如图11-4，圆M和圆N与直线l：
2
2
2
y＝kx分别相切于A，B，与x轴相切，并且圆心连线与l交于点C，若|OM|＝|ON|且AC＝
→
2CB，则实数k的值为( )
【导学号：68334120】
→
图11-4
A．1 C.3
3
B. 44D. 3
→
D [分别过点M，N作x轴的垂线，垂足分别为E，F.由题意，得△MAC∽△NBC，由AC＝→
2CB，知|MA|＝2|NB|.又由x轴与直线y＝kx是两个圆的公切线知∠MON＝90°，|MA|＝|ME|，|NB|＝|NF|，结合|OM|＝|ON|，知|ME|＝2|NF|，△OME≌△NOF，所以|OF|＝|ME|
9
＝2|NF|，所以tan∠NOF＝选D.
|NF|12tan∠NOF4
＝，则tan∠BOF＝tan 2∠NOF＝＝，故2
|OF|21－tan∠NOF3
(2)已知点M(－1,0)，N(1,0)，曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N距离的3倍． ①求曲线E的方程；
②已知m≠0，设直线l1：x－my－1＝0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx＋y－m＝0交曲线E于B，D两点．C，D两点均在x轴下方．当CD的斜率为－1时，求线段AB的长． [解] ①设曲线E上任意一点坐标为(x，y)， 由题意，
2
2
x＋1
2
＋y＝3
2
x－1
2
＋y，
2
2分
整理得x＋y－4x＋1＝0，即 (x－2)＋y＝3为所求.
2
2
4分
②由题知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N(1,0)，设曲线E的圆心为E，则E(2,0)，线段
?y＝x－2，?
CD的中点为P，则直线EP：y＝x－2，设直线CD：y＝－x＋t，由?
??y＝－x＋t，
解得
点P?
?t＋2，t－2?.
2??2?
7分
由圆的几何性质，
122
|NP|＝|CD|＝|ED|－|EP|，
2 而|NP|＝? |EP|＝?
2
2
?t＋2－1?2＋?t－2?2，|ED|2＝3，
??2??2???
?|2－t|?2?t＋2－1?2＋?t－2?2＝3－?|2－t|?2，解得t＝0或t＝3，
，∴?2??2????
?????2??2?
又C，D两点均在x轴下方，直线CD：y＝－x.
2
?x＝1－，?2解得?
2
y＝－1，??2
??x＋y－4x＋1＝0，
由?
?y＝－x，?
22
或
10
2
?x＝1＋，?2?2
y＝－－1.??2
9分
设C?1－
2
2
??22??22?，－1?，D?1＋，－－1?， 2222???
??x＋y－4x＋1＝0，
由?
?y＝ux－1?
2
2
2
2
消去y得：
(u＋1)x－2(u＋2)x＋u＋1＝0，(*) 方程(*)的两根之积为1，所以点A的横坐标
xA＝2＋2，又因为点C?1－
?
?22?
，－1?在直线l1：x－my－1＝0上，解得m＝2＋1，22?
11分
直线l1：y＝(2－1)(x－1)，所以A(2＋2，1)， 同理可得，B(2－2，1)，所以线段AB的长为22.
15分
11
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