专题10 解三角形
1．【2018年高考全国Ⅱ理数】在△ABC中，cosC5，BC?1，AC?5，则AB? ?25B．30 D．25 A．42 C．29 【答案】A
?5?32C?1?2???1??, 【解析】因为cosC?2cos??5?25???3?222AB?BC?AC?2BC?ACcosC?1?25?2?1?5?所以????32，则AB?42，故选A.
?5?【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
2C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为2．【2018年高考全国Ⅲ理数】△ABC的内角A，B，a2?b2?c2，则C?
4π 2πC．
4A．【答案】C
【解析】由题可知S△ABCπ 3πD．
6B．
1a2?b2?c2，所以a2?b2?c2?2absinC， ?absinC?24π，故选C. 4由余弦定理a2?b2?c2?2abcosC，得sinC?cosC，因为C??0,π?，所以C?【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.
3．【2017年高考山东卷理数】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC为锐角三
角形，且满足sinB(1?2cosC)?2sinAcosC?cosAsinC，则下列等式成立的是 A．a?2b C．A?2B
B．b?2a D．B?2A
【答案】A
【解析】由题意知sin(A?C)?2sinBcosC?2sinAcosC?cosAsinC， 所以2sinBcosC?sinAcosC?2sinB?sinA?2b?a， 故选A.
【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A，B，C的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到a?2b.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.
4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b?6,a?2c,B?π，则3△ABC的面积为_________．
【答案】63 【解析】由余弦定理得b2?a2?c2?2accosB，所以(2c)?c?2?2c?c?解得c?23,c??23（舍去），
221?62，即c2?12， 2所以a?2c?43，S△ABC?113acsinB??43?23??63. 222【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于c的方程，应用a,c的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
5．【2019年高考浙江卷】在△ABC中，?ABC?90?，AB?4，BC?3，点D在线段AC上，若
?BDC?45?，则BD?___________，cos?ABD?___________．
【答案】12272 ，510【解析】如图，在△ABD中，由正弦定理有：
ABBD3π?，而AB?4,?ADB?，
sin?ADBsin?BAC4AC=AB+BC=5，sin?BAC?22BC3AB4122?,cos?BAC??，所以BD?. AC5AC55ππ72. cos?ABD?cos(?BDC??BAC)?coscos?BAC?sinsin?BAC?4410
【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在△ABD中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 6．【2018年高考浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a?sin B=___________，c=___________． 【答案】
，则7，b=2，A=60°
21，3 7【解析】由正弦定理得
asinA2π21?，所以sinB??sin?, bsinB37722由余弦定理得a?b?c?2bccosA,?7?4?c?2c,?c?3（负值舍去）.
【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.解答本题时，根据正弦定理得sinB，根据余弦定理解出c.
7．【2017年高考浙江卷】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，
则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______． 【答案】
221510 ,24【解析】取BC中点E，由题意：AE?BC， △ABE中，cos?ABC?BE11115?，∴cos?DBC??,sin?DBC?1?， ?AB44164∴S△BCD?115． ?BD?BC?sin?DBC?222∵?ABC?2?BDC，∴cos?ABC?cos2?BDC?2cos?BDC?1?1， 4解得cos?BDC?1010或cos?BDC??（舍去）． 44综上可得，△BCD面积为
1510，cos?BDC?． 24【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：
（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；
（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．
8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设
(sinB?sinC)2?sin2A?sinBsinC．
（1）求A；
（2）若2a?b?2c，求sinC． 【答案】（1）A?60?；（2）sinC?6?2. 4【解析】（1）由已知得sin2B?sin2C?sin2A?sinBsinC， 故由正弦定理得b2?c2?a2?bc．
b2?c2?a21由余弦定理得cosA??．
2bc2因为0??A?180?，所以A?60?． （2）由（1）知B?120??C，
由题设及正弦定理得2sinA?sin120?C?2sinC，
???即6312． ?cosC?sinC?2sinC，可得cos?C?60????2222由于0??C?120?，所以sinC?60????2，故 2
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