三年高考(2017-2019)理数真题分项版解析 - 专题10 解三角形（解析版）

因为PB⊥AB，

所以cos?PBD?sin?ABE?所以PB?84?. 105BD12??15.

cos?PBD45因此道路PB的长为15（百米）.

（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处，连结AD，由（1）知AD?AE2?ED2?10，

AD2?AB2?BD27从而cos?BAD???0，所以∠BAD为锐角.

2AD?AB25所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此，Q选在D处也不满足规划要求. 综上，P和Q均不能选在D处. （3）先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；

当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.

?AB，由（1）知，P1B=15， 设P1为l上一点，且PB1?PB?PB此时PD11sin?PBD11cos?EBA?15??15. 当∠OBP>90°时，在△PPB中，PB?PB11由上可知，d≥15. 再讨论点Q的位置.

3?9； 5由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，

CQ?QA2?AC2?152?62?321.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=321时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321. 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：

（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.

以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.

因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，?3.

22

因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x+y=25.

从而A（4，3），B（?4，?3），直线AB的斜率为因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为?直线PB的方程为y??3. 44， 3425x?. 33所以P（?13，9），PB?(?13?4)2?(9?3)2?15. 因此道路PB的长为15（百米）.

（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（?4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求. ②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（?4，9），又A（4，3）， 所以线段AD：y??3x?6(?4剟x4). 421515??2在线段AD上取点M（3，），因为OM?3????32?42?5，

4?4?所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求.

综上，P和Q均不能选在D处. （3）先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；

当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.

?AB，由（1）知，P1B=15，此时P1（?13，9）； 设P1为l上一点，且PB1?15. 当∠OBP>90°时，在△PPB中，PB?PB11由上可知，d≥15. 再讨论点Q的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由AQ?(a?4)2?(9?3)2?15(a?4)，得a=4?321，所以Q（4?321，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上，当P（?13，9），Q（4?321，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离

PQ?4?321?(?13)?17?321.

因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17?321（百米）.

【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.

14．【2018年高考全国Ⅰ理数】在平面四边形ABCD中，?ADC?90，?A?45，AB?2，BD?5.

（1）求cos?ADB；

（2）若DC?22，求BC. 【答案】（1）23；（2）5. 5【解析】（1）在△ABD中，由正弦定理得

BDAB?.

sin?Asin?ADB由题设知，

522?. ，所以sin?ADB?sin45?sin?ADB5由题设知，?ADB?90?，

所以cos?ADB?1?223. ?2552. 5（2）由题设及（1）知，cos?BDC?sin?ADB?在△BCD中，由余弦定理得

BC2?BD2?DC2?2?BD?DC?cos?BDC

?25?8?2?5?22?2 5?25.

所以BC?5.

【名师点睛】求解此类问题的突破口：

一是观察所给的四边形的特征，正确分析已知图形中的边角关系，判断是用正弦定理，还是用余弦定理，求边角；

二是注意大边对大角，在解三角形中的应用.

a215．B，C的对边分别为a，b，c，. 【2017年高考全国Ⅰ理数】已知△ABC的面积为△ABC的内角A，

3sinA（1）求sin Bsin C;

（2）若6cos Bcos C=1，a=3，求△ABC的周长. 【答案】（1）

2；（2）3?33. 31a1a2. 【解析】（1）由题设得acsinB?，即csinB?23sinA23sinA1sinA. sinCsinB?23sinA2故sinBsinC?.

3由正弦定理得

（2）由题设及（1）得cosBcosC?sinBsinC??所以B?C?11，即cos(B?C)??. 222ππ，故A?. 331a2由题设得bcsinA?，即bc?8.

23sinA