由余弦定理得b2?c2?bc?9，即(b?c)?3bc?9，得b?c?33. 故△ABC的周长为3?33. 【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如y?Asin(?x??)?b，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.
16．B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA?acos(B?). 【2018年高考天津卷理数】在△ABC中，内角A，
（1）求角B的大小；
（2）设a=2，c=3，求b和sin(2A?B)的值. 【答案】（1）
π33. ；（2）b=7，sin(2A?B)=3142?6【解析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分． （1）在△ABC中，由正弦定理
ab?，可得bsinA?asinB， sinAsinBππ又由bsinA?acos(B?)，得asinB?acos(B?)，
66π即sinB?cos(B?)，可得tanB?3．
6又因为B?(0，π)，可得B=
π． 3（2）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=3π由bsinA?acos(B?)，可得sinA?．
67π，有b2?a2?c2?2accosB?7，故b=7． 3因为a 1432 ，cos2A?2cosA?1?．77因此sin2A?2sinAcosA?所以，sin(2A?B)?sin2AcosB?cos2AsinB?4311333 ????．727214【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若 出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 17．【2017年高考全国Ⅱ理数】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin?A?C??8sin（1）求cosB； （2）若a?c?6，△ABC的面积为2，求b． 【答案】（1）cosB?2B ．215；（2）b?2． 172【解析】（1）由题设及A?B?C??，可得sinB?8sin上式两边平方，整理得17cos2B?32cosB?15?0， B，故sinB?4?1?cosB?． 215． 1715814ac． （2）由cosB?得sinB?，故S△ABC=acsinB?171721717又S△ABC=2，则ac?． 2解得cosB?1(舍去)，cosB?由余弦定理及a?c?6得： b2?a2?c2?2accosB??a?c??2ac?1?cosB??36?2?所以b?2． 21715?(1?)?4, 217【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理，三角形的面积公式等知识进行求解．解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意a?c,ac,a?c三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐． 18．【2018年高考北京卷理数】在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–（1）求∠A； （2）求AC边上的高． 【答案】（1） 221． 7π33；（2）． 321π，∴B∈（，π）， 72【解析】（1）在△ABC中，∵cosB=– ∴sinB=1?cos2B?43． 78ab7?=43， ?由正弦定理得 sinAsinBsinA7∴sinA=3． 2ππ，π），∴A∈（0，）， 22π∴∠A=． 3∵B∈（ （2）在△ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA= 3114333=． ?(?)??272714如图所示，在△ABC中，∵sinC= h3333，∴h=BC?sinC=7?， ?BC142∴AC边上的高为 33． 2 【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，基本步聚是： 第一步，定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向； 第二步，定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边、角之间的互化； 第三步，求结果. 19．【2017年高考天津卷理数】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a?b，a?5,c?6， sinB?3． 5（1）求b和sinA的值； （2）求sin(2A?)的值． π4【答案】（1）b的值为13，sinA的值为31372. ；（2） 1326【解析】（1）在△ABC中，因为a?b，故由sinB?34，可得cosB?． 55由已知及余弦定理，有b2?a2?c2?2accosB?13， 所以b?13． 由正弦定理 abasinB313?，得sinA?． ?sinAsinBb13313． 13所以，b的值为13，sinA的值为（2）由（1）及a?c，得cosA?所以sin2A?2sinAcosA?213， 131252，cos2A?1?2sinA??． 1313故sin(2A?πππ72． )?sin2Acos?cos2Asin?44426【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题． 20．【2017年高考全国Ⅲ理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinA?3cosA?0， a=27，b=2. （1）求c； （2）设D为BC边上一点，且AD?AC，求△ABD的面积. 【答案】（1）c?4；（2）3. 2π. 32π2在△ABC中，由余弦定理得28?4?c?4ccos，即c2?2c?24?0. 3【解析】（1）由已知可得tanA??3，所以A?解得c??6 (舍去)，c?4. （2）由题设可得?CAD?π， 2π. 6所以?BAD??BAC??CAD?
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