2015年江苏省连云港市东海高中高考数学三模试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上． 1．函数
的最小正周期是 ．
2．已知函数f（x）=x2+（m+2）x+3是偶函数，则m= ．
3．抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为 ．
4．lg22+lg2lg5+lg5= ．
5．已知复数z满足（1+2i）z=5（i为虚数单位），则z= ． 6．已知
，则
值为
?? ．
7．已△知△ABC三边长分别为a，b，c且a2+b2﹣c2=ab，则∠C=
，则x2+y2最大值为 ．
8．已知x，y满足
9．设等差数列{an}的公差d不为零，a1=9d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k= ． 10．与曲线
共焦点并且与曲线
共渐近线的双曲线方程为 ．
11．直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则b的值为 ?? ．
12．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是 ．
13．π为圆周率，e=2.71828为自然对数的底数．则3π，πe，3e，π3，e3，eπ这6个数中的最大值是 ．
14．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|?|PB|的最大值是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）已知函数
，
（1）若x∈[0，π]，求函数f（x）的最大值与最小值及此时x的值； （2）若
，且
，求f（x）的值．
16．（14分）已知圆C：x2+y2=9，点A（﹣5，0），直线l：x﹣2y=0． （1）求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程； （2）在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有
为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．
17．（14分）某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段．已知跳水板AB长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距hm（h≥1）时达到距水面最大高度4m．规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．
（1）当h=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；
（2）若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．
18．（16分）在直角坐标系xoy上取两个定点A1（﹣2，0），A2（2，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且mn=3．
（1）求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程； （2）已知点A（1，t）（t＞0）是轨迹M上的定点，E，F是轨迹M上的两个动点，如果直线AE的斜率kAE与直线AF的斜率kAF满足kAE+kAF=0，试探究直线EF的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由． 19．（16分）设fk（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn．对于任意的正整数n，an+Sn=fk（n）都成立． （I）若k=0，求证：数列{an}是等比数列；
（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列． 20．（16分）已知函数（fx）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，（f2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）若方程f（x）+m=0在
内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然
对数的底数）；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣kx，若g（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（其中x1＜x2），AB的中点为C（x0，0），求证：g（x）在x0处的导数g′（x0）≠0．
三、附加题
21．（10分）已知矩阵A=
22．（10分）已知直线l的参数方程：
．
（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l和圆C的位置关系． 23．（10分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是棱BC的中点，Q在棱CD上．且DQ=λDC，若二面角P﹣C1Q﹣C的余弦值为
，求实数λ的值．
（t为参数）和圆C的极坐标方程：
，B=
，求矩阵A1B．
﹣
24．（10分）已知抛物线L的方程为x2=2py（p＞0），直线y=x截抛物线L所得弦． （1）求p的值；
（2）抛物线L上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
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