?3?所以函数f(x)在?0，?上的最大值是f(1)＝log24＝2. ?2?
[答案] (1)D (2)①2，(－1,3) ②2
指数函数、对数函数性质的应用要点
解决此类问题要熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质．方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根；比较大小问题可直接利用单调性和中间值解决．
[针对训练]
( )
A．a B．c [解析][答案] A 2 5．设函数f(x)＝a＋x(a∈R)． 2＋1(1)若函数f(x)为奇函数，求实数a的值； (2)用定义法判断函数f(x)的单调性； (3)若当x∈[－1,5]时，f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围． [解] (1)若函数f(x)为奇函数， ∵x∈R，∴f(0)＝a＋1＝0，得a＝－1， 故有a 21－2 验证：当a＝－1时，f(x)＝－1＋x＝x，显然该函数为奇函数，∴a＝－1. 2＋11＋2(2)任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1 222x2＋1－2x1＋1 则f(x1)－f(x2)＝－＝， 2x1＋12x2＋1?2x1＋1??2x2＋1?由x1 ∴2x1＋1<2x2＋1，2x2＋1－2x1＋1>0. 故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数． (3)当x∈[－1,5]时， x 4 ∵f(x)为减函数，∴fmax(x)＝f(－1)＝＋a， 3 4?44?若f(x)≤0恒成立，则满足fmax(x)＝＋a≤0，得a≤－.∴a的取值范围为?－∞，－?. 3?33?考点四 函数的零点与方程的解 根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有解，有几个解．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的解、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题． 6 【典例4】 (1)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是 x( ) A．(0,1) C．(2,4) ?|x|，x≤m，? (2)已知函数f(x)＝?2 ??x－2mx＋4m，x>m， B．(1,2) D．(4，＋∞) 其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方 程f(x)＝b有三个不同的实数解，则m的取值范围是________． [解析] (1)由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝6>0，f(2)631 ＝3－1＝2>0，f(4)＝－log24＝－2＝－<0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2,4) 422上必存在零点．故选C. ?|x|，x≤m，? (2)f(x)＝?2 ??x－2mx＋4m，x>m， 2 当x>m时，f(x)＝x－2mx＋4m＝(x－m)＋4m－m， 222 其顶点为(m,4m－m)；当x≤m时，函数f(x)的图象与直线x＝m的交点为Q(m，m)． ??m>0， ①当?2 ?4m－m≥m，? 即0 数f(x)的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意； ??4m－m ?m>0，? 2 2 即m>3时，函数f(x)的图象如图(2)所示，则存在实数b满足4m－ m 综上，m的取值范围为(3，＋∞)． [答案] (1)C (2)(3，＋∞) 确定函数零点的方法 (1)求方程f(x)＝0的解． (2)利用图象找y＝f(x)的图象与x轴的交点或转化成两个函数图象的交点问题． (3)利用f(a)·f(b)与0的关系进行判断． [针对训练] 6．已知a是函数f(x)＝2－A．f(x0)＝0 C．f(x0)<0 x 的零点，若0 B．f(x0)>0 D．f(x0)的符号不确定 [解析] y＝2与y＝ x x 的图象如图所示，显然两个图象的交点的横坐标为a，于是 的图象的下方，从而2x0< ，即f(x0) 在(0，a)区间上，y＝2的图象在y＝＝2x0－ [答案] C <0. 7．若关于x的方程x＋mx＋m－1＝0有一正实根和一负实根，且负实根的绝对值较大，则实数m的取值范围是________． m2 [解析] 令f(x)＝x＋mx＋m－1，其图象的对称轴方程为x＝－. 2 2 ∵方程x＋mx＋m－1＝0有一正实根和一负实根，且负实根的绝对值较大， ∴函数f(x)＝x＋mx＋m－1有两个零点，且两零点的和小于0， f?0?<0，?? 画出函数的大致图象，如图所示，∴?m －<0，??2故实数m的取值范围是0 2 2 解得0
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