【解答】证明：（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．
∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD， ∴△ABG≌△ADF． ∴AG=AF，∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD． ∴∠GAE=∠EAF． 又∵AE=AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG=EF． ∵EG=BE+BG． ∴EF=BE+FD
（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．
（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE﹣FD． 证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∴∠B=∠ADF．
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∵AB=AD，
∴△ABG≌△ADF． ∴∠BAG=∠DAF，AG=AF． ∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD =∠EAF=∠BAD． ∴∠GAE=∠EAF． ∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF． ∴EG=EF ∵EG=BE﹣BG ∴EF=BE﹣FD．
3．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°． （1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是 DE∥AC ；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是 S1=S2 ．
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究
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已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．
【解答】解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上， ∴AC=CD，
∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°， ∴∠ACD=∠CDE， ∴DE∥AC；
②∵∠B=30°，∠C=90°， ∴CD=AC=AB， ∴BD=AD=AC，
根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即S1=S2；
故答案为：DE∥AC；S1=S2；
（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到， ∴BC=CE，AC=CD，
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∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°， ∴∠ACN=∠DCM， ∵在△ACN和△DCM中，
，
∴△ACN≌△DCM（AAS）， ∴AN=DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即S1=S2；
（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形， 所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等， 此时S△DCF1=S△BDE； 过点D作DF2⊥BD， ∵∠ABC=60°，F1D∥BE， ∴∠F2F1D=∠ABC=60°，
∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°， ∴∠F1DF2=∠ABC=60°， ∴△DF1F2是等边三角形， ∴DF1=DF2，
∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点， ∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，
∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°， ∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°， ∴∠CDF1=∠CDF2， ∵在△CDF1和△CDF2中，
，
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