2018届高三第二次调研测试
南通、徐州、扬州、宿迁、淮安等六市
数学学科参考答案及评分建议
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 已知集合U?? ?1，0，1，2，3 ?，A???1，0，2 ?，则eU【答案】?1，3? 2． 已知复数z13A? ▲ ．
?a?i，z2?3?4i，其中i为虚数单位．若
z1z2为纯虚数，则实数a的值为 ▲ ．
【答案】4
3． 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间?40，100?上，其频率分布直方图如图
所示，则成绩不低于60分的人数为 ▲ ．
开始 【答案】30
S←1 频率 组距 i←1
0.030
i←i ? 1 0.025
S←S×5 0.015
0.010 i < 4 Y 0.005
N
40 50 60 70 80 90 100 成绩/分
输出S
（第3题）
4． 如图是一个算法流程图，则输出的S的值为 ▲ ． 结 束 【答案】125 （第4题）
5． 在长为12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于
32 cm2的概率为 ▲ ．
1
【答案】
36． 在△ABC中，已知AB【答案】2?26?1，AC?2，B?45?，则BC的长为 ▲ ．
27． 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C与双曲线x点P??2，3?y23?1有公共的渐近线，且经过
?，则双曲线C的焦距为 ▲ ．
【答案】43 8． 在平面直角坐标系xOy中，已知角?，?的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点 A(1，2)，B(5，1)，则tan(???)的值为 ▲ ． 【答案】9
79． 设等比数列?an?的前n项和为Sn．若S3，S9，S6成等差数列，且a8?3，则a5的值为
▲ ． 【答案】?6
10．已知a，b，c均为正数，且abc?4(a?b)，则a?b?c的最小值为 ▲ ．
1
【答案】8
11．在平面直角坐标系xOy
?x≤3，?中，若动圆C上的点都在不等式组?x?3y?3≥0，??x?3y?3≥0表示的平面
区域内，则面积最大的为 ▲ ． 【答案】(x?1)2?y2?4 12．设函数
?e?x?1，x?0，?2（其中ef(x)??3??x?3mx?2，x≤0为自然对数的底数）有3个不同的零点，
则实数m的取值范围是 ▲ ．
【答案】?1，???
13．在平面四边形ABCD中，已知AB 【答案】10 14．已知a为常数，函数
【答案】4，1
4f(x)?a?x2?1，BC?4，CD?2，DA?3，则AC?BD的值为 ▲ ．
x?1?x2的最小值为?23，则a的所有值为 ▲ ．
填空题要求：
第6题：答案写成2+3，复合根式也算正确。
第11题：题目要求“圆C的标准方程”，写成圆的一般方程不给分，不配方不给分。 第12题：写成m?1或者?mm?1?也算正确。 第14题：两解缺一不可，只有一个正确不给分。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，设向量a??cos?c?，??1232，sin??，b???sin?，cos??，
?．
?c（1）若（2）设?a?b，求sin(????π??)的值；
b?c?5π6，0?，且a//??，求?的值．
?sin?，cos?解：（1）因为a所以
因为
a?cos?，sin?b?c?，b???，c?，??1232?，
??1，
且a?b??cos?sin??sin?cos??sin(???)?c． …… 2分
12a?b，所以
a?b2?c2，即a2 ??2 a?b ??b2 ??1， ………4分
． …… 6分
所以1? （2）因为?2sin(???)?1?15π6，即sin32，12(???)???，所以a?c?????．
3232 依题意，b因为a//?，cos????sin??1232?． …… 8分
???12?sin??b?c?，所以?32?cos??1212??0． ……10分
化简得，12sin??cos??，所以sin1?． …… 12分 ????π32 2
ππ2π????333 因为0 所以?注意：1.a?b?序。
???π?ππ?36，所以?，即??．
π2． …… 14分
与a2 ??2 a?b ??b2 ??1， 每个2分，没有先后顺
?cos?sin??sin?cos??sin(???)2.不写“?ππ2π????333”扣1分。
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB ??AC，点E，F分别在棱BB1 ，CC1上（均异
A C 于端点），且∠ABE?∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1．
求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；
F B （2）BC // 平面AEF．
E A1 C1
B1
（第16题） 证明：（1）在三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1 // CC1．
因为AF⊥CC1，所以AF⊥BB1． …… 2分 又AE⊥BB1，AEAF?A，AE，AF?平面AEF，
所以BB1⊥平面AEF． …… 5分 又因为BB1?平面BB1C1C，所以平面AEF⊥平面BB1C1C． …… 7分 （2）因为AE⊥BB1，AF⊥CC1，∠ABE ?∠ACF，AB ??AC， 所以Rt△AEB ≌Rt△AFC．
所以BE ? CF． …… 9分 又由（1）知，BE ???CF．
所以四边形BEFC是平行四边形．
从而BC ?? EF． …… 11分 又BC?平面AEF，EF?平面AEF，（三个条件缺一不可）
所以BC // 平面AEF． …… 14分
注意：1.缺少“在三棱柱ABCA1B1C1中”或者写成“由题意知”都不行，没有就扣掉7分，采取“突
然死亡法”，严格标准；
2.“5分点”中五个条件缺一不可，缺少任何一个条件扣掉该逻辑段以及本小题后续分值，共计5分。
3.“14分点”中三个条件缺一不可，缺少任何一个条件扣掉该逻辑段得分，共计3分。
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆
xa22?yb22?1(a?b?0)的短轴端点，P是
椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为y?x?3时，线段PB1的长为42． （1）求椭圆的标准方程；
（2）设点Q满足：QB1?PB1，QB2?PB2．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值． y B1 Q 3 P OB2 x
解：设P?x0，y0?，Q?x1，y1?． （1）在y?x?3中，令x
?x2y?1，?2?由?a9?y?x?3???6a22?0xa22，得y??32，从而b ? 3． …… 2分
?12 得
?x?3?9．
所以x09?a2． …… 4分 ?y0?3 因为PB1
?x0??2?22x0，所以42?2?6a229?a，解得a2?18．
2y所以椭圆的标准方程为x??1189． …… 6分
（2）方法一：
直线PB1的斜率为kPB 由QB1?PB1，1?y0?3x0，
??x0y0?3所以直线QB1的斜率为kQB??x0y0?3x?3．
1 于是直线QB1的方程为：y 同理，QB2的方程为：y??．
x0y0?3?x?32． …… 8分 ． …… 10分
x02 联立两直线方程，消去y，得x12y0?9x0
2y因为P?x0，y0?在椭圆x??1189上，所以
18?y092?1，从而y0?9??2x022．
所以x1 所以
??1B2x02． …… 12分
x0x1?2S?PBS?QB?． …… 14分
1B2 方法二：
设直线PB1，PB2的斜率为k，k?，则直线PB1的方程为y 由QB1 将
?PB1，?kx?3．
直线QB1的方程为y2??21x?3k．
?12kx?02yxy?kx?3代入??1189，得?2k?1?x2，
??12k2k22 因为P是椭圆上异于点B1，B2的点，所以x0
2yx因为P?x0，y0?在椭圆??11892?02，从而x0y09?12k2?1．…… 8分
x022上，所以
??12x018??1，从而y0?9??．
所以k 由QB2?k??y0?3x0?y0?3x0?y0?9x022，得k??． …… 10分
?PB2，所以直线QB2的方程为y?2kx?3．
4
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