高中数学选修2-3 同步练习 1.3 二项式定理(解析版)

第一章 计数原理

1.3 二项式定理

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(1+x)7的展开式中x2的系数是 A．42 C．28 【答案】D

rrx, 【解析】(1+x)7的展开式的通项公式为Tr+1=C72=21.故选D. 令r=2,得x2的系数为C7n0n1n?1【技巧点拨】熟记二项式定理：(a?b)?Cna?Cnab?kn?kk?Cnab?nn?Cnb(n?N?)，是解

B．35 D．21

决此类问题的关键.

2．二项式?x?2?的展开式的第二项是

??x??A．6x4 C．12x4 【答案】D

【解析】展开式的通项公式Tr?1?Cxr6?r66B．﹣6x4 D．﹣12x4

?2?, ????x?1r2?5?4令r?1,可得展开式的第二项为C1x?6??=?12x.选D．

?x?【名师点睛】（1）求二项展开式的特定项的常见题型

1n①求第r项，Tr=Crna

－

－r＋1

br1；

－

②求含xr的项(或xpyq的项)； ③求常数项； ④求有理项．

（2）求二项展开式的特定项的常用方法

①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；

②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；

③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．

3a??23．若?x??的展开式中含x项的系数为x??6，则实数的值为

B．D．

A． C．

【答案】B

4．A．C． 【答案】B 【解析】则

n的展开式中,

的系数为

B．D．

的展开式的通项为的展开式中,

的系数为

,

3??5．在?x??的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为32,则的系数为

x??A．50 C．90 【答案】C

B．70 D．120

4n【解析】∵各项系数和与二项式系数和之比为32，∴n?32，得

213??5?rr5?r?rr∴通项公式为Tr?1?C5x?3x2??3C5x2，

??r

令5?3r?2，2的系数为

【总结归纳】二项式系数与项的系数的区别：

二项式系数是指Cn，Cn，…，Cn，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如(a?bx)的展开式中，第r＋1项的二项式系数是Cn，而该项的系数是Cnarrn?r01nnbr.当然，某些特殊的二项展开式如

(1?x)n，各项的系数与二项式系数是相等的．

1??6．已知?x?1??ax??的展开式中常数项为?40，则a的值为

x??A．2 C．?2 【答案】C

B．?2 D．4

5

【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求

1??解能力.首先写出?ax??展开式的通项公式，然后结合题意得到关于实数a的方程，解方程即可求得

x??最终结果.

5?1?7．已知二项式?1??2x?，则展开式的常数项为

?x?A．?1 C．?47 【答案】B

B．1 D．49

4?1???1???1??1??1??1?【解析】?1??2x???1???2x???1?4??2x??6??2x??4??2x????2x?，

?x???x???x??x??x??x?44234

?1??二项式中的常数项产生在1,6??2x??x?它们的和为1?24?24?1，故选B．

212?1??1?, ,??2x?中，分别是1,6?2???2x?,C2???2x??4??x?x??x?42?1?【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题.解题时，首先将?1??2x?变形为

?x?4??1??1??2x??，按二项式展开，分别得到展开式中的常数项，求和即可得结果. ??x????8．A．32 C．-33 【答案】D 【解析】因为当当当

时,时,时,

==

=

n4＝

,则

B．-32 D．-31

等于

＝

① ②

故选D．

,

①-②，得①+②，得所以

1??9．若?x??的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是

x??A．?462 C．792 【答案】D

B．462 D．?792

1??【解析】∵?x??的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n为偶数，

x??展开式共有13项，则n?12.

n1?r?r12?2r的展开式的通项公式为， T??1Cxx???r?1??12x??令12?2r?2，得r?5.

12

5∴展开式中含x2项的系数是??1?C12??792，故选D．

5【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：

（1）求展开式中的特定项，可依据条件写出第r?1项，再由特定项的特点求出r值即可；

（2）已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r?1项，由特定项得出r值，最后求出其参数. 10．设

项为

A．第4项 C．第4项和第5项 【答案】C 【解析】令令

，得

，可得

，

，

，代入得

，所以

，

B．第5项 D．第7项

，若

，则展开式中二项式系数最大的

由题意得又因为11．

A．9 C．11 【答案】D

，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项和第项，故选C.

的展开式中恰有三项的系数为有理数，则的可能取值为

B．10 D．12

【解析】由题意，展开式中项的系数为C?3rnn?r3??2?，

r系数为有理数，则n﹣r是3的倍数，r是2的倍数， n=9，r=6，不符合； n=10，r=4,10，不符合； n=11，r=2，8，不符合； n=12，r=0,6,12，符合题意， 故选D．

二、填空题：请将答案填在题中横线上．