z0是
?n??f?z0??0,?f?z?的m级零点???m???f?z0??0(n?1,2,?m?1)
1的m级极点； f?z?3）零点与极点的关系：z0是f?z?的m级零点?z0是4）重要结论
若z?a分别是??z?与??z?的m级与n级零点，则 ?
z?a是??z????z?的m?n级零点；
?z? 当m?n时，z?a是??的m?n级零点；
??z??z当m?n时，z?a是??的n?m级极点；
??z??z当m?n时，z?a是??的可去奇点；
??z?? 当m?n时，z?a是??z????z?的l级零点，l?min(m,n)
当m?n时，z?a是??z????z?的l级零点，其中l?m(n) （十五）留数的概念
1．留数的定义：设z0为f?z?的孤立奇点，f?z?在z0的去心邻域
0?z?z0??内解析，c为该域内包含z0的任一正向简单闭曲线，则称
c积分
f??z??2?i1d为zf?z?f?z?dz
在
z0的留数（或残留），记作
Res[f?z?,z0]??c2?i?12．留数的计算方法
若z0是f?z?的孤立奇点，则Res[f?z?,z0]?c?1，其中c?1为f?z?在
z0的去心邻域内洛朗展开式中(z?z0)?1的系数。
1）可去奇点处的留数：若z0是f?z?的可去奇点，则Res[f?z?,z
12
0]?0
2）m级极点处的留数
法则I 若z0是f?z?的m级极点，则
1dm?1Res[f?z?,z0]?limm?1[(z?z0)mf?z?]
(m?1)!z?z0dz 特别地，若z0是f?z?的一级极点，则Res[f?z?,z0]?lim(z?z0)f?z?
z?z0 注：如果极点的实际级数比m低，上述规则仍然有效。
Pz法则II 设f?z????，P?z?,Q?z?在z0解析，P?z0??0,
Q?z?Q?z0??0,Q??z0??0，则Res[P?z?Q?z?,z0]?P?z0? Q??z0?（十六）留数基本定理
设f?z?在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2?,zn外处处解析，c为
cD内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则
?nn?1??f?z?dz?2?i?Res[f?z?,z]
说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数f?z?在c内各孤立奇点处留数的局部问题。
积分变换复习提纲
一、傅里叶变换的概念
13
? ?
F[f(t)]??????f(t)e?jwtdt?F(w)
F?1[F(?)]?12??????F(?)ej?td??f(t)
二、几个常用函数的傅里叶变换 ? ? ? ?
F[e(t)]?1 ??j?1???(?) j?F[u(t)]?F[?(t)]?1 F[1]?2??(?)
三、傅里叶变换的性质
? 位移性（时域）：F[f(t?t0)]?e?jwt00F[f(t)]
0? 位移性（频域）：F[ejwtf(t)]?F(w)w?w?w? 位移性推论：F[sinw0tf(t)]??F(w?w0)
1[F(w?w0)?F(w?w0)] 2j? 位移性推论：F[cosw0tf(t)]?1[F(w?w0)?F(w?w0)]
2? 微分性（时域）：F[f?(t)]?(jw)F(w) （tF[f(n)(t)]?(jw)nF(w)，t???,f(n?1)(t)?0
???,f(t)?0），
? 微分性（频域）：F[(?jt)f?t?]?F??w?,F[(?jt)nf(t)]?F(n)(w) ? 相似性：F[f(at)]?1wF() aa (a?0)
四、拉普拉斯变换的概念 ?
L[f(t)]????0f(t)e?stdt?F(s)
五、几个常用函数的拉普拉斯变换 ? ?
L[ekt]?1； s?k?(m?1)m!1是自然数；（)L[tm]??(m?(1)?1,?()??,?(m?1)?m?(m)）
sm?1sm?1214
? ? ? ?
L[u(t)]?L[1]?L[?(t)]?1
1； sL[sinkt]?k,s2?k2kL[shkt]?2,s?k2? 设
s s2?k2s L[chkt]?2s?k2T1则L[f()（f(t)是以T为周期的周期f(t?T)?f(t)，]t?()ftdt。?Ts?01?eL[coskt]?函数）
六、拉普拉斯变换的性质
? 微分性（时域）：L[f??t?]?sF?s??f?0?,L[f??(t)]?s2F(s)?sf(0)?f?(0)
([)tft?]F? 微分性（频域）：L?s?????，L[(?t)nf?t?]?F(n)?s?
tFs? 积分性（时域）：L[?0f?t?dt]???
s? 积分性（频域）：L[f?t?t]??F?s?ds（收敛）
?s? 位移性（时域）：L[eatf?t?]?F?s?a?? 相似性：L[f(at)]?1F(s)
aa
? 位移性（频域）：L[f?t???]?e?s?F?s?（??0,t?0,f(t)?0）
(a?0)
七、卷积及卷积定理 ? ? ? ?
f1(t)*f2(t)??????f1(?)f2(t??)d?
F[f1(t)?f2(t)]?F1(w)?F2(w)
F[f1(t)?f2(t)]?1F1(w)?F2(w) 2?L[f1(t)?f2(t)]?F1(s)?F2(s)
八、几个积分公式 ? ?????f(t)?(t)dt?f(0) f(t)?(t?t0)dt?f(t0)
15
? ???
??
? ?0????f(t)dt??L[f(t)]ds??F(s)ds16 00t? ?
??0f(t)e?ktdt?L[f(t)]s?k
16
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