2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列（综合题）
一、解答题
1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{an} （2）已知数列{bn}满足:
满足：
，求证:数列{an}为“M－数列”；
，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn} 成立，求m的最大值． 2.（2019?上海）已知等差数列
．
（1）若
，求集合 ；
的公差
，数列
满足
，集合
， 当k≤m时，对任意正整数k ，都有
（2）若 ，求 使得集合 恰好有两个元素；
（3）若集合 恰好有三个元素： ， 是不超过7的正整数，求 的所有可能的值．
3.（2019?浙江）设等差数列{an}的前n项和为Sn ， a3=4.a4=S3 ， 数列{bn}满足：
*
对每个n∈N ， Sn+bn ， Sn+1+bn、Sn+2+bn成等比数列
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式 （2）记Cn=
，n∈N* ， 证明：C1+C2+…+Cn＜2
，n∈N*
4.（2019?天津）设
.
（Ⅰ）求 （Ⅱ）设数列
和
是等差数列， 是等比数列，公比大于0，已知 ， ，
的通项公式； 满足
求
.
第 1 页 共 12 页
5.（2019?天津）设 是等差数列， 是等比数列.已知 .
（Ⅰ）求 （Ⅱ）设数列
和 的通项公式； 满足
其中
.
（i）求数列 （ii）求
6.（2019?卷Ⅱ）已知 （1）求 （2）设
的通项公式； .
是各项均为正数的等比数列，
，
。
的通项公式；
，求数列{
}的前n项和。
7.（2019?北京）设{an}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列. （I）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn ， 求Sn的最小值. 8.（2019?卷Ⅱ）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， （1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； （2）求{an}和{bn}的通项公式.
9.（2019?北京）已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项…第im项（i1 （I）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列； （II）已知数列{an}的长度为P的递增子列的末项的最小值为am0 ， 长度为q的递增子列的末项的最小值为an0 ， 若p （III）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等。若{an}的长度为s的递增子列末项的最小 s-1 值为2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2个（s=1.2.…），求数列{an}的通项公式。 ， . 10.（2019?卷Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知Sn=-a5 （1）若a3=4，求{an}的通项公式。 （2）若a1≥0，求使得Sn≥an的n取值范围。 第 2 页 共 12 页 答案解析部分 一、解答题 1.【答案】 （1）解：设等比数列{an}的公比为q ， 所以a1≠0，q≠0. 由 ，得 ，解得 ． 因此数列 为“M—数列”. ，所以 ． （2）解：①因为 由 得 ，则 . 由 ，得 ， 当 时，由 ，得 ， 整理得 ． 所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{bn}的通项公式为bn=n ②由①知，bk=k ， . . 因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q ， 所以c1=1，q>0. 因为ck≤bk≤ck+1 ， 所以 当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有 ． ，其中k=1，2，3，…，m. 设f（x）= ，则 ． 令 x ，得x=e.列表如下： e (e，+∞) 第 3 页 共 12 页 f（x） 因为 + ，所以 0 极大值 ． – 取 ，当k=1，2，3，4，5时， ，即 ， 经检验知 也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 351515 若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q ， 且q≤6，从而q≥243，且q≤216， 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{an}为“M－数列”。（2）①利用 项公式求出数列 与 的关系式结合已知条件得出数列 为等差数列，并利用等差数列通 的通项公式。bk=k ， ②由①知， .因为数列{cn}为“M–数列”， 设公比为q ， ，其中k=1，2，3，…，m ， 再利用分类讨所以c1=1，q>0，因为ck≤bk≤ck+1 ， 所以 论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的 最大值。 2.【答案】 （1）解： 等差数列 ． 当 ， 的公差 ，数列 满足 ，集合 集合 ． （2）解： ，数列 满足 ，集合 恰好有两个元素，如 图： 第 4 页 共 12 页 根据三角函数线，①等差数列 ， ② 图 终边落在 ， ， 的终边落在 轴的正负半轴上时，集合 恰好有两个元素，此时 上，要使得集合 恰好有两个元素，可以使 ， 的终边关于 轴对称，如 此时 ， 综上， 或者 ． （3）解：①当 ②当 等差数列 时， 的公差 时， ， ，故 ，集合 ， ， ，符合题意． ，或者 ，又 ， 当 时满足条件，此时 ． 第 5 页 共 12 页
相关推荐：
loading