假设第N步作出闭区间IN (k?1, 2, ?, 2N)，它们满足：
(j)（ⅰ）I0, In (j?1, 2, ?, 2n ; n?1, 2, ?, N)互不相交；
(k)（ⅱ）I0?[?(?n?1j?1N2n(j)In)]??Fi??Fi（因为nN?N?1）.
i?1i?1nNN?1(j)在开区间?中挖去闭区间I0, In (j?1, 2, ?, 2n ; n?1, 2, ?, N)后余下的2N?1个开
区间中，如果至少有一个开区间比如?i与
0n?N?2?Fn的交为空集，则由（ⅱ）知与?Fn的
n?1?交也为空集，从而???Fnn??i0?c.问题得证.若不然，则这2N?1个开区间均与
n?N?2?Fn相交，重复上述步骤得到一列闭区间{I0, In(j)}，再利用完备集的结构定理可知
?(?n?1j?1?2n(j)In)]?它关于[a, b]的余集为非空完备集，又在（ⅱ）中令N??，得I0?[??Fi
i?1?所以，集(a, b)??Fi的势（基数）等于连续势c.
i?1 附注 ①我们知道：可数个闭集的并集不一定是闭集，而此题结果又说明了“开区间（是
开集）却不能表示成可数个互不相交的闭集的并集”，所以又引出了F?-集. ②任何闭区间不可能表示成可数个疏集的并集（提示：用反证法，若[a,b]?其中Fi(i?1,2,?)为疏集，可构造一闭区间套，则导出矛盾！）
?Fi，
i12.证明：用十进位小数表示[0, 1]中的数时，其用不着数字7的一切数成一完备集.
证 对[0, 1]中的任一数x均可表示为x??10k (ak?{0, 1, 2, ?, 9}, k?1, 2, ?)（x
k?1?ak的这种表示法不一定唯一），而如此表示的级数其值都在[0, 1]内.
记G表示[0, 1]中数的十进位可能表示
??10k 中必有某一个ak?7的那些数的全
k?1?ak体，从而只要证明G关于[0, 1]的余集P?[0, 1]?G为完备集.
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作开区间?0??78,1010?，?a?a1nn?nakak78???? , ???10k10n?1?10k10n?1?? (n?1, 2,?)
k?1?k?1?其中a1,?,an为不等于7而小于10的非负整数.
显见这些开区间为[0, 1]中可数无穷个无公共端点的互不相交的开区间，其内点用十 进位数表示时至少有一个an?7，而端点用十进位数表示时可使所有ak?7.作这些开 区间的并集记为U，则U为开集，且根据完备集的结构定理知U关于[0, 1]的余集为一 完备集，于是，只要证明G?U即可.
由U的定义显见U?G；另一方面，若x?G，则在x的所有可能的十进位表示
?10k 中均必有一个an?7，且不妨设此n为满足等式的最小整数即a1,?,an?1均不
k?1?ak等于7.首先证明下述两种情况不能发生：①am?0 (m?n?1, n?2, ?)，此时x表示 区间?a?a的左端点，它有另一十进位表示：
1n?1?10ii?1n?1ai?69，在此表示中一 ??ni10i?n?110切an?7，因此x不可能是这种情况；②am?7 (m?n?1, n?2, ?)，此时x表示区 间?a?a的右端点，它有另一十进位表示：
1n?1?10ii?1n?1n?1ai?8，在此表示中一切an?7， n10因此x也不可能是这种情况.由此可知x??a?a1?U.综上所证可知G?U.证毕！
附注 ①P?c； ②P在[0, 1]中不稠密（因P?(0.28 , 0.7)??）.
13.试在[0, 1]上定义一个函数，它在任一有理点不连续，但在任一无理点连续.
解 ①设
?ann?1?为一收敛的正级数，因[0, 1]上全体有理数可数，故可记为
Q?{r1,r2,?,rn,?}.对?x?[0, 1]，定义函数f(x)?rn?x?an，其中和式是对rn?x的
那些相应的an求和.则f(x)为[0, 1]上单调递增函数且在无理点连续，有理点不连续其跃度为f(rn0)?f(rn0)?an0.
事实上，因为对任意y?x，f(y)?f(x)?x?rn?y???an?0，所以，f(x)为增函数；
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又记Exy?{rnx?rn?y}，当x为无理数时，lim?Exy??，所以，f(x?0)?f(x).
y?x 同理可证f(x?0)?f(x)，所以，f(x)在无理点连续；当x为有理数rn时，有
0y?x?limExy?rn0，所以，f(x?0)?f(x)?an0，且此时类似亦有f(x?0)?f(x)?（x?rn），从而 f(rn?)?f(r)?an0?0. n000q1??p, x?p(p,q互素正整数,p?q)，②微积分中熟知的Riemann函数 R(x)??
??0，x为[0,1]中无理数， 亦为所求函数.
附注 ①不存在[0, 1]上这样的函数，它在每一有理点连续，而在每一无理点不连续； （提示：只要证任何在[0, 1]中有理点连续的函数f(x)，至少在一个无理点上连续.可利
用闭区间套定理）.
②设A,B为非空不交闭集（可无界），则存在f(x)?C(??, ??)满足：0?f(x)?1，且当x?A时，f(x)?0，而当x?B时，f(x)?1； (提示：f(x)??(x,A) , x?(??,??)，其中?(x,A)为点x到集A的距离.
?(x,A)??(x,B)再证分子连续，分母大于0连续，从而f(x)连续.而满足条件显然)
更一般地，此结果可推广到n个非空不交闭集上：设Ak(k?1,2,?,n)为n个非空不交 闭集，?连续函数f(x)使得x?Ak时，f(x)?Ck（Ck为常数，k?1,2,?,n），则
Ck, x?Ak, k?1,2,?,n,? ?nC???k?(x,A)nf(x)??k?1即可. k, x?A.?k?nk?1??1?(x,Ak)??k?1二、勒贝格（Lebesgue）测度
1.设E1、E2均为有界可测集，试证m?E1?E2??mE1?mE2?m?E1?E2?.
证 因E1、E2可测，则E1?E2可测，E2?E1?E2可测，且
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m(E2?E1?E2)?mE2?m(E1?E2).
又由E1??E2?E1?E2???，得
m?E1?E2??mE1?m?E2?E1?E2??mE1?mE2?m?E1?E2?.
2.试证可数个零测度集的并仍是零测度集.
证 设mEn?0, n?1, 2, ?, E??En，则E可测，且有
n?1??????0?mE?m???En???mEn?0，∴ mE?0.
?n?1?n?13.设有两个开集G1、G2，且G1?G2，那么是否一定有mG1?mG2？
G1?(0, 1)?(1, 2)，G2?(0, 2)， 解 不一定成立.例：则G1?G2，但mG1?2?mG2.
4.对任意开集G，是否一定有mG?mG成立？
解 不一定.例 ：对[0, 1]中的所有有理数{r1, r2, ?, rn, ?}，作开集如下：
?11?11?G???rn?n?2, rn?n?2?，则G为开集，且mG?m*G??n?1?.
222?n?12n?1?? 但由G?[0, 1]，可得mG?m[0, 1]?1.故mG?mG.
?n??nA、A、?、A5.设12， 1]中个可测集，且满足?mAk?n?1，试证m??Ak?n是[0??0.
k?1?k?1?n 证 由1题可知：m(E1?E2)?mE1?mE2?m(E1?E2).
?nc??又∵Ai?[0, 1]，∴ mAi?1，i?1, 2, ?, n，而?Ai????Ai?，
i?1?i?1?nn?n??nc?c???∴m???Ai??1?m??Ai??1??mAi?1??(m[0, 1]?mAi)
i?1i?1?i?1??i?1?nc?1?n??mAi??mAi?(n?1)?0.（由已知?mAk?n?1）
i?1i?1k?1nnn6*.设m*E?q?0，则对任何p?(0, q)，存在E0?E，使得m*E0?p（称为“外测
度的介值定理”）.（以下证明最好能看懂，否则Pass！）
证 ①先设E是有界集，即E?[a, b]，m*E?q?0.
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