不定积分表

Yz.Liu.2013.09

卷终 公式表注解四

基本不定积分表

序言：

微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。

本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。

本表收录公式16组，151式。

公式一 基本初等函数的不定积分18式：

?1??1x?C,???1;幂函数(1).xdx?? ???1???ln|x|?C,???1.?指数函数(2).?axdx?1xa?C lna(3).?exdx?ex?C对数函数(4).?logaxdx?xlogax?xlogae?C(5).?lnxdx?xlnx?x?C(6).?sinxdx??cosx?C(7).?cosxdx?sinx?C(8).?tanxdx??ln|cosx|?C(9).?cotxdx?ln|sinx|?C 三角函数 11?sinx(10).?secxdx?ln|secx?tanx|?C?ln?C21?sinxx(11).?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C?ln|tan|?C2反三角函数 (12).?arcsinxdx?xarcsinx?1?x2?C(13).?arccosdx?xarccosx?1?x2?C 1(14).?arctanxdx?xarctanx?ln(1?x2)?C2 1(15).?arccotxdx?xarccotx?ln(1?x2)?C2(16).?arcsecxdx?xarcsecx?ln(x?x2?1)?C(17).?arccscxdx?xarccscx?ln(x?x2?1)?C 常数函数(18).Rdx?Rx?C ?上述公式均为基本初等函数之不定积分，其中部分公式均可以由分部积分公式给出，特别的，对于正切函数，余切函数，正割函数与余割函数的不定积分，使用了诸多三角变换完成。

公式二 含ax?b的积分（要指出a非零）10式：

?a2(19).(ax?b)dx?x?bx?C??2?1??(ax?b)??1?C,???1 ?(20).?(ax?b)dx?a(??1)??11dx?ln|ax?b|?C?(21).?ax?ba?对于其中的第二式，是利用换元积分完成的。

x1dx?2(ax?b?bln|ax?b|)?Cax?ba 2x1?1?(23).?dx?3?(ax?b)2?2b(ax?b)?b2ln|ax?b|??Cax?ba?2?(22).?对于第一者，可以利用凑的方式，我们考虑分式显的：

x1?b?，则得其积分是

??1??ax?ba?ax?b?x1?1bb?1??dx?x?d(ax)?x?ln|ax?b|?aC?。而第二式依然采取类似????ax?b?a?aax?ba?a??2的方式，可借由带余多项式除法算得：x?12ax?ba第一个积分式即可得到结论。

x1?，然后利用?2(ax?b)?2ab?b?ax?bax?b???(24).?(25).?11ax?bdx??ln?Cx(ax?b)bx11aax?bdx???ln?Cx2(ax?b)bxb2x 对于分母是二次多项式或者更高者，常常分成多个低次多项式之和，这两个积分便是沿用了此结论所得到的。我们注意第一式中有

1111?11?b，

?????x(ax?b)ax(x?b/a)a?xx?b/a?a1积分即得。对于第二式依然可用分离拆项的方式： 1(ax?b)?ax?1?a，然后

22bx(ax?b)bxbx(ax?b)积分即可，而一般对于拆项，常用待定系数的方法完成。

(26).?x1?b?dx?ln|ax?b|????C(ax?b)2a2?ax?b? x21?b2?(27).?dx?ax?b?2bln|ax?b|??C??(ax?b)2a3?ax?b?111ax?b(28).?dx??2ln?C2x(ax?b)b(ax?b)bx公式三 含ax?b的积分9式

2(ax?b)3?C3a2 (30).?xax?bdx?(3ax?2b)(ax?b)3?C215a2(31).?x2ax?bdx?(15a2x?12abx?8b2)(ax?b)3?C3105a(29).?ax?bdx?第一式的证明用凑微分的方式即可完成。而有了第一式的结论，第二式可用分部积分完成计算。我们有：

?xax?bdx?x?ax?bdx????ax?bdxdx??2x2(ax?b)3??(ax?b)3dx 3a3a其中，对上式右侧的2(ax?b)3dx再次使用凑微分的方法，即可得解： ?3a522433(ax?b)dx?2?(ax?b)d(ax?b)?(ax?b)2?C2?3a3a15a

32x4232??xax?bdx?(ax?b)3?(ax?b)(ax?b)?C?3ax?2b(ax?b)?C??3a15a215a2同理利用分部积分可以将第三式拆开，并以第二式证明之。

x2dx?2(ax?2b)ax?b?C3aax?b 2x2(33).?dx?(3a2x2?4abx?8b2)ax?b?C215aax?bdx1d(ax?b)2利用凑微分的方式，我们显然有不定积分??ax?ba?ax?b?aax?b?C，本(32).?组公式可以考虑用此公式，并使用分部积分即可证明一式：

x2x22x4dx?ax?b?ax?bdx?ax?b?(ax?b)3?C2?ax?b?aaa3a 42?2x????2(ax?b)?ax?b?C?2(ax?2b)ax?b?C3a?a3a?二式同理使用分部积分，并利用一式的结论即可证明。

??dx?(34).???xax?b???1lnbax?b?b?C,b?0ax?b?b ax?b?C,b?0?b2arctan?b该公式是重要的不定积分之一，它可以解决一类带有ax?b的不定积分等式。但是该积分是不好计算的，首先分部积分就不容易得出结果，而另一方面我们也无法进行一个显然的凑微分，因此对于这一类带有根号式的积分，往往是先强行换掉根号，再作观察。因此令t2?b2tdxa2t1ax?b?t?x?,dx?dt，于是???2dt?2?2dt，显然看

aa(t?b)tat?bxax?b到的是这个不定积分的结果需要讨论b的正负来决定之后使用的不定积分公式：如果b是负的，那么显然会使用反三角，如果b是正的，则可能使用三角换元：

b?0:?111dt?d(sinarcsin(t/b))t2?bb?[sinarcsin(t/b)]2?111??d(arcsin(t/b))b?cosarcsin(t/b)?secxdx?ln|secx?tanx|?C?1lnsecarcsin(t/b)?tanarcsin(t/b)?Cb

1?(t/b)211?sinarcsin(t/b)11t?b??ln?C?ln?C?ln?C2bb1?(t/b)2bt?b1?sinarcsin(t/b)然后将ax?b?t带入上式得原积分?2的b，有：

b?0:??11dt?ln?t2?bbax?b?b另外对于负?C,b?0。

ax?b?b?t?11111tdt?dt?d?arctan?C??222?t?|b|???t?b|b|t/|b|?1?|b|?|b||b|

??1ax?barctan?C?b?b即原积分?2arctanax?b?C,b?0。该不定积分公式对于负数的b计算是很容易的。

?b?b(35).?(36).?(37).?dxax?badx?????C0bx2bxax?bax?bx2ax?bdxdx?2ax?b?b??C0xxax?bax?bax?badxdx????C0x2x2?xax?b adx，故上面公式均可以分部积分公式指出。

2ax?b公式四 含有x2?a2的积分3式

注意到微分公式dax?b?dx1x?arctan?Cx2?a2|a||a|dxx2n?3dx (39).?2???C0?...2n222n?12?22n?1(x?a)2(n?1)a(x?a)2(n?1)a(x?a)(38).?(40).?dx1x?a?ln?Cx2?a22ax?a1容易得出。第二式是利用分部积1?x2分公式给出的递推式的形式：通过这个递推关系逐步下降分母的幂直到一式的情形，然后带入一式即可得解。三式是有理分式的不定积分，通常是将之拆分为两个容易计算的分式，则不难得出结果：

一式用凑微分的方式以及微分公式d(arctanx)??x2dx1?11?1???ln|x?a|?ln|x?a|??C ??dx?2??a2a?x?ax?a?2a