不定积分表

公式五 含有ax2?b(a?0)的积分7式

3ax除开显然的?(ax?b)dx?其余均与ax2?b有?bx?C不列为公式表所用之公式外，3关，不过在下面公式的推理中，我们可以肯定的是推理可能是不唯一的，因此某些推理也是可能涉及了该公式的。

2?1arctan?ab1?(41).?2dx??ax?b?1ln?2?ab?ax?C,b?0bax??b?C,b?0ax??b 是一个需要分类讨论的积分。显然的可以发现这个被积函数的形式与反正切是有关的，不过反正切的分母是加法运算，因此如果这里b是负的，那么就不能适用反正切，这导致了积分需要分类讨论之。

11bdx??ax2?bba?1??axb?ax?1ad?arctanx?C,b?0??2?b?bab?1??1dsinarcsin?ax?1d?2??b?????ab??1??1?sinarcsina?b111dx?dx??ax2?b?ax2?|b|?ab?1darcsin???ab?cosarcsin??11ln2?ab??ax?b??a?ba?bx?x?2

?a?bxa?bx???111?sinarcsinln?ab21?sinarcsin?11?sinx??C,??secxdx?ln?C?a21?sinxx???bx?b?ax?C,b?0?b?axdx形式的不定积分，虽然这里我采用的是换元为三角22x?a函数的方法，而并非使用公式四中利用有理函数积分的性质来推理，但是三角换元计算不定积分是值得深入探讨和学习的计算方法，也许在这个公式中体现不出来，但是在某些场合下，三角换元无疑是强大的。

该公式的证明中再一次的遇到了?x1dx?ln|ax2?b|?C2ax?b2ax2xbdx(43).?2dx???2?C0ax?baaax?bdx1x2(44).??ln?Cx(ax2?b)2bax2?b(42).?(45).?dx1adx????C0x2(ax2?b)bxb?ax2?b dxaax2?b1(46).?32?2ln??C2x(ax?b)2bx2bx2(47).?dx1x1dx???C0(ax2?b)22bax2?b2b?ax2?b一式是显然的。在这组公式中，除了一式之外，后者在各种场合的运用还是相对频繁的。二式、三式都是典型的有理函数的不定积分问题，可以采取分离常数的方法来求解，其

推理及其陈述如下：

x21ax2?b?b11bdx?dx?dx?dx 22?ax2?b???aax?baaax?bdx1b1?1ax?1?112??dx??dx?lnx?d(ax)??C???x(ax2?b)b?x(ax2?b)?b??xax2?b?b?2?ax2?b? 111x22?lnx?ln(ax?b)?C?ln?Cb2b2bax2?b类似的对于之后的不定积分，依然可以拆项： 11adx1adx???????x2(ax2?b)bxb?ax2?bx2(ax2?b)bx2b(ax2?b) dx1xdx1?xa1?dxa1???dx??dx?32?x3(ax2?b)?xx3(ax2?b)?x??bx3b?x(ax2?b)?bxbax?b?1aax2?b???ln?C2bx22b2x2但是对于最后一式，拆项显然是不理想的，分子也不具备变量以进行凑微分，因此从分母考

虑：

2ax?1?d?2???(ax2?b)2?ax?b?dx1?1?111?1?

???d??d????(ax2?b)2?2ax?ax2?b?2axax2?b?ax2?b?2ax?111dx??2axax2?b2a?x2(ax2?b)接着带入公式（45）即得所证。

公式六 含有ax2?bx?c(a?0)的积分2式 先给出最基本的积分：

22ax?b?arctan?C,b2?4ac?24ac?b2dx?4ac?b (48).?2??2ax?bx?c?12ax?b?b?4acln?C,b2?4ac?b2?4ac2ax?b?b2?4ac?该积分的证明需要分情形处理。一般来说，如果分母的二次式对应的二次方程是有根的，那么其不定积分可以考虑因式分解的方式拆分成两个分式之和，而对于无实数解的情形，可以考虑配方的方式，并利用反三角函数的微分公式得到该不定积分的证明，不过在此我将使用另一种方式证明上述公式，我将在此引入虚数单位i，并规定i2??1：

?ax2dxdx111?11x?R?1????ln?C ??dx???bc?ca(x?R)(x?S)aR?S?x?Rx?S?aR?Sx?S这里的R,S为ax2?bx?c?0的两根，则：

?b?b2?4ac?b?b2?4ac?b2?4ac如果b?4ac?0，那么R?S?，则???2a2aaa积分式即为

21b2?4acln??2?2???C?,R?S,C??C1?Constant ?2222ax?b?b?4ac?b?4ac?b?4ac2ax?b?b2?4ac?i4ac?b2i否则为R?S?，则积分变为： ?aa?2ax?b??i??2ax?b??i?1iLn??C?Ln????2ax?b??i???Constant?i?2ax?b??i??????(2ax?b)2???2(2ax?b)?i?i?Ln???Constant2(2ax?b)????? ?2ax?b??i??(2ax?b)2????2(2ax?b)??ii?ln?iarg????(2ax?b)2????2?2ax?b??i???Constant(2ax?b)??????????22?2ax?b??i?i(2ax?b)4??2?2(2ax?b)2?1?ln?arg??2ax?b??i???Constant[(2ax?b)2??]2?????2ax?b??i?1?arg??2ax?b??i???Constant?????这里值得注意的是辐角arg?2ax?b??i?的取值问题，我们选择???,??这个区间并考虑反

???2ax?b??i??22???正切表示，则这时候辐角中所给之复数必须保证实部恒正或恒负，但由判别式b2?4ac?0依

然无法断言2ax?b之正负，这对反正切的表示是不利的，因此考虑对辐角进一步转化，一个方便的方法是对分式上下乘以1个虚数单位，则：

?(2ax?b)i????2ax?b??i??(2ax?b)i?????arg??2ax?b??i???arg??(2ax?b)i?????2arg??(2ax?b)2????????? ?(2ax?b)i???2ax?b??2??2arctan?2arg(?1)?2arg??(2ax?b)2??????将该式与Constant?C?2?4ac?b2带入不定积分式，得：

?2ax?b??i?dx1?arg?ax2?bc?c???2ax?b??i???Constant?? 2?22ax?b2???arctan?C?4ac?b24ac?b24ac?b24ac?b222ax?b?arctan?C4ac?b24ac?b2虽然此方法比较复杂，但是可以说明的是，以复数进行实数的不定积分是可能的。

x1bdx2 dx?ln|ax?bx?c|?ax2?bx?c2a2a?ax2?bx?c以拆项的方式来拆分为两个不定积分，这是及其显然的： (49).?x12ax?b?b12ax?b1b ???2222ax?bx?c2aax?bx?c2aax?bx?c2aax?bx?c公式七 含有x2?a2(a?0)的积分14式

含x2?a2(a?0)的不定积分，通常会考虑的变换是1?tan2x?sec2x，特别是出现在分母中的根式，这样做的好处不但可以抵消根式，同时可以处理并约分掉分母中的积分变量，

以大幅度化简积分运算。不过在很多时候，我们也常常考虑双曲换元来完成，这是因为对于正切与正割之间的关系式运算在某些时候没有双曲函数简便。下面几个公式都是可以通过换元得到的：

(50).?(51).?(52).?(53).?(54).?(55).?x?arsinh?C1?ln(x?x2?a2)?C2ax2?a2dxx??C223222(x?a)ax?axx2?a2x2dxdx?x2?a2?Cdx??1x?a22 ?C(x?a)x223x2a22dx?x?a?ln(x?x2?a2)?C22x2?a2x2xdx???ln(x?x2?a2)?C(x2?a2)3x2?a2第一式是典型的反双曲三角函数的微分，以及反双曲三角函数的定义式所得，事实上，

dxdx，因此对于第一个不定我们设y?arsinhx?dx?coshydy?dy?dx??coshy1?sinh2y1?x2积分式，采用凑的方式即刻得之。二式也是典型的双曲换元得到的等式：

dxacoshydy1dy11x?asinhy2??(1?tanhy)dy?tanhy?C 2?(x2?a2)3?(a2cosh2y)3a2?cosh2ya2?asinhy其中，将1tanhy?1a2a21?sinh2yy?arsinhxax1xa回带，即得之所证。 ?22222xa1?(a)aa?x三、四均是由微分公式d?x??21x直接可推论的结果。然而如果对于三式没有直接

观察到亦不妨以双曲换元的得出：

xsinhycoshy1x?asinhydxdx?coshy?C?a2?x2?C ?x2?a2?acoshya于是四式也可如法炮制：

xasinhycoshysinhy111x?asinhydxdy?dy?d(coshy)???C ?(x2?a2)3/2?(a2cosh2y)3/2?a2cosh2ya2?cosh2ya2coshy五式、六式可以凑得之：以分部积分得：

?x2x2?a2dx??xd?x?a，?22??1dx??xd?22(x2?a2)3?x?ax2?，再

??????x2x2?a2dx??xd?x?a22??xx?a??22x2a22x?adx?x?a?ln(x?x2?a2)?C2222?x2?a2dxx2x?asinhy??ysinh2y?a2?cosh2ydy?a2???C??4??2??xdx?????2x?a2x2?a2?

??1dx??xd??(x2?a2)3x2?a2?