不定积分表

同理对于（99）式换元之后，亦可解之，但鉴于计算复杂，这里不用换元的方法，我依然采用分部积分的方式：

?x?ax?ax?ax?a1b?ab?xdx?(x?K)??(x?K)d?(x?K)??(x?K)dxb?xb?xb?xb?x2(b?x)2x?ax?ab?ax?Kb?x?dxb?x2?(b?x)2x?aK?b

?(x?K)其中：

(x?b)x?aa?b1?dxx?b2?(x?a)(b?x)??11dx?2?d(x?a)(b?x)b?x2b?a?x?a?2?1??1x?a1?b?ad?x?a?2?? ?x?a?x?ad??b?a???2arcsinb?a?C2??x?a??1???b?a??1d(b?a)?(x?a)?x?a?带回则完成证明。

根据反三角的计算公式，考虑到根式恒正，因此上式中的反三角亦可写作：

2arcsin?x?ax?ax?ax?ax?a??arcsin?arcsin???arcsin?21???b?a?b?ab?ab?ab?a??

?2(x?a)(b?x)????arcsin????b?a??因此写作

dx?ax2?bx?c??2(x?a)(b?x)1dx?arcsin??a?b(x?a)(b?x)???C亦是正确的。亦可通过公式（67）??????12ax?barcsin?C来计算，得到：

2ab?4ac?dxdx2x?(a?b)2x?(a?b)????arcsin?C?arcsin?C

22a?b(x?a)(b?x)?x?(a?b)x?ab(a?b)?4ab通过一个简单的验证即可知上面的三种结果都是正确的：

2d?x?a?2111 arcsin????dx?b?a?x?ax?ab?a(x?a)(b?x)??1?2b?ab?ad?2x?(a?b)?12arcsin????2x?(a?b)2a?bdx?a?b?1?[a?b]?1?ab?x2?ax?bx?1(x?a)(b?x)1?4ab?4x2?4x(a?b)(a?b)22a?b

d?2x?(a?b)?1221 arcsin?????2x?(a?b)2222dx?a?b?1?[(x?a)(b?x)(a?b)?4x?4x(a?b)?(a?b)]a?ba?b换言之，我们得到1具有三个我们可能会计算出的原函数：

(x?a)(b?x)2arcsin?2(x?a)(b?x)?x?a，以及arcsin2x?(a?b) arcsin????b?aa?ba?b??当我们得到该结论之后，对于第（100）式的证明方法就很多了，最简单的就是通过已建立

的公式（68）来完成

对于不定积分公式（100），其推理在（99）之中已经给出。

由公式（68）：

?2ax?bb2?4ac2ax?b2?ax?bx?c??ax?bx?c?arcsin?C，得：

324a8ab?4ac2?(x?a)(b?x)dx???x2?(a?b)x?abdx2x?(a?b)(a?b)2?4ac2x?(a?b)2??x?(a?b)x?ab?arcsin?C1248(a?b)?4ab?2x?(a?b)(a?b)22x?(a?b)?(x?a)(b?x)?arcsin?C148a?b??2x?(a?b)(a?b)2x?a???or:(x?a)(b?x)?arcsin?C244b?a???2(x?a)(b?x)?2x?(a?b)(a?b)2?or:(x?a)(b?x)?arcsin??C3???48a?b????

上式所给出三个不定积分的形式，均是正确的。

公式十二 含三角函数的不定积分23式

除了基本初等三角函数之外，本组公式总结更为复杂的三角积分，其中包含了递推关系，凑微分以及分部积分等方法来完成其推理。

x1?sin2x?C24x1(103).?cos2xdx??sin2x?C24(102).?sin2xdx?(104).?tan2xdx?tanx?x?C(105).?cot2xdx??cotx?x?C(106).?sec2xdx?tanx?C(107).?csc2xdx??cotx?C （102），（103）以降幂公式变形，再以基本初等函数的积分直接积分得到。（104）~（105）实质上就是导数公式的逆，因此我们如果要证明，只需以导数公式指出即可：

sinxcos2x?sin2x22(tanx)'?()'??secx?1?tanx2cosxcosx ?tan2xdx?(tanx)'dx?dx?tanx?x?C??????22secxdx?dx?tanxdx?tanx?C?????cosx?sin2x?cos2x(cotx)'?()'???csc2x??(1?cot2x) 2sinxsinx?cot2xdx??(cotx)'dx?dx??cotx?x?C???? ??22???cscxdx??dx??cotxdx??cotx?C1n?1(108).?sinnxdx??sinn?1xcos?sinn?2xdx?nn1n?1(109).?cosnxdx?cosn?1xsinx?cosn?2xdx ?nndx1sinxn?2dx(110).?secnxdx????nn?1?cosxn?1cosxn?1cosn?2xdx1cosxn?2dx(111).?cscnxdx??n???n?1?sinxn?1sinxn?1sinn?2x先以凑微分对积分变量进行替换，紧接着以分部积分对之变形，当等式左右两侧都出现相同的项时，通过移项的方式得到不定积分（108）的递推关系。（109）与之同理。

?sinnxdx??sinn?1xd(cosx)?cosxsinn?1x?(n?1)?cos2xsinn?2xdx?cosxsinn?1x?(n?1)?(sinn?2x?sinnx)dx?n?sinxdx?cosxsinnn?1

xdxx?(n?1)?sinn?21n?1n?2??sinnxdx?cosxsinn?1x?sinxdxnn??cosnxdx???cosn?1xd(sinx)??sinxcosn?1x?(n?1)?sin2xcosn?2xdx??sinxcosn?1x?(n?1)??cosn?2x?cosnx?dx?n?cosxdx??sinxcosnn?1

xdxx?(n?1)?cosn?21n?1??cosnxdx??sinxcosn?1x?cosn?2xdx?nn依然可以考虑用同样的步骤完成（110）和（111）式，这是因为正割函数、余割函数与正切函数、余切函数都有恒等式的关系，因此与其使用弦函数来完成不定积分的运算，不

如使用割函数更为明了。

dxnn?2?cosnx??secxdx??secxd(tanx)?tanxsecn?2x?(n?2)?tanxsecn?3x(tanxsecx)dx?tanxsecn?2x?(n?2)?tan2xsecn?2xdx?tanxsecn?2x?(n?2)?(sec2x?1)secn?2xdx?(n?1)?secnxdx?tanxsecn?2x?(n?2)?secn?2xdx??secnxdx?1n?2tanxsecn?2x?secn?2xdx?n?1n?1

dxnn?2?sinnx??cscxdx???cscxd(cotx)??cotxcscn?2x?(n?2)?cotxcscn?3x(?cotxcscx)dx??cotxcscn?2x?(n?2)?(csc2x?1)cscn?2xdx??cotxcscn?2x?(n?2)?(cscnx?cscn?2x)dx?(n?1)?cscnxdx??cotxcscn?2x?(n?2)?cscn?2xdx1n?2cotxcscn?2x?cscn?2xdx?n?1n?1对于正切函数、余切函数高次幂的不定积分，鉴于一次切函数的不定积分需要对数表达式，二次切函数会单出一个积分变量，导致积分是困难的，不过下面等式给出了切函数积分的一种算法，其中它们的幂都是取整数的：

??cscnxdx??

(112).?cosmxsinnxdx?1m?1cosm?1xsinn?1x?cosm?2xsinnx?m?nm?n 1m?1 ??cosm?1xsinn?1x?cosmxsinn?2x?m?nm?n1cosm?1xsin1?mxd(sinm?nx)?m?n11?cosm?1xsinn?1x?sinm?nxd(cosm?1xsin1?mx)?m?nm?n1?cosm?1xsinn?1x m?n1?sinm?nx[(1?m)cosm?2xsin2?mx?(1?m)cosmxsin?mx]dx?m?n1m?1nm?222?cosm?1xsinn?1x?sinxcosx(sinx?cosx)dxm?nm?n?1m?1?cosm?1xsinn?1x?sinnxcosm?2xdx?m?nm?n上面证明的分部积分是对正弦凑微分得到的，如果对余弦凑微分，则同理可得到

mn?cosxsinxdx?mncosxsinxdx???1m?1mn?2cosm?1xsinn?1x?cosxsinx m?nm?n?