从图15.6可以看出，当S在X附近时，?值最大，即?值对于S最敏感。从图15.7可以看出，对于平价期权来说，期权有效期很短时，Gamma值将非常大，即?值对S非常敏感。
对于支付已知连续收益率q的 股价指数欧式看涨期权而言，
??e?0.5d1?q(T?t)S?2?(T?t)2
用rf替代上式的q，我们就可得到欧式外汇期权的Gamma计算公式，用r替换q，用F替换S，我们就可得欧式期货期权的Gamma计算公式。
对于标的资产及远期和期货合约来说，Gamma值均为0。 （二）证券组合的Gamma值与Gamma中性状态
当证券组合中含有标的资产和该标的资产的各种衍生证券时，该证券组合的?值就等于组
合内各种衍生证券?值的总和：
???wi?i （15.10）
i?1n其中，wi表示第i种证券（或衍生证券）的数量，?i表示第i种证券（或衍生证券）的?值。
由于标的资产远期和期货的?值均为零，因此证券组合的?值实际上等于该组合内各种期权的数量与其?值乘积的总和。由于期权多头的?值总是正的，而期权空头的?值总是负的，因此若期权多头和空头数量配合适当的说，该组合的?值就等于零。我们称?值为零的证券组合处于Gamma中性状态。
证券组合的?值可用于衡量?中性保值法的保值误差。这是因为期权的?值仅仅衡量标的资产价格S微小变动时期权价格的变动量，而期权价格与标的资产价格的关系曲线是一条曲线，因此当S变动量较大时，用?估计出的期权价格的变动量与期权价格的实际变动量就会有 偏差（如图15.8所示）。
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从图15.8可以看出，当标的资产价格人S上涨到S1时，Delta中性保值法假设期权价格从c增加到c1，而实际上是从c增加到c1?，c1和c1?之间的误差就是Delta中性保值的误差。这种误差的大小取决于期权价格与标的资产价格之间关系曲线的曲度。?值越大，该曲度就越大，?中性保值误差就越大。
为了消除?中性保值的误差，我们应使保值组合的?中性化。为此应不断地根据原保值组合的?值，买进或卖出适当数量标的资产的期权，以保持新组合?中性，同时调整标的资产或期货合约的头寸，以保证新组合?中性。
由于证券组合的?值会随时间变化而变化，因此随时间流逝，我们要不断调整期权头寸和标的资产或期货头寸，才能保持保值组合处于?中性和?中性状态。
例15.11
假设某个?中性的保值组合的?值等于－5,000，该组合中标的资产的某个看涨期权多头的?和?值分别等于0.80和2.0。为使保值组合?中性，并保持?中性，该组合应购买多少份该期权，同时卖出多少份标的资产？
该组合应购入的看涨期权数量等于：
5000?2,500份 2.0由于购入2500份看涨期权后，新组合的?值将由0增加到2,500?0.80=2,000。因此，为保持?中性，应出售2,000份标的资产。
（三）Delta，Theta和Gamma 之间的关系
在第13章，我们曾讨论过无收益资产的衍生证券价格f必须满足布莱克——斯科尔斯微分方程（式13.40），即：
?f?f122?2f?rS??S?rf ?t?S2?S2根据我们在本节的定义，
?f?f?2f??,??,2?? ?t?S?S因此有：
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1??rS???2S2??rf （15.11）
2该公式对无收益资产的单个衍生证券和多个衍生证券组合都适用。 对于处于?中性状态的组合来说，
1???2S2??rf
2这意味着，对于?中性组合来说，若?为负值并且绝对值很大时，?将会为正值并且也
很大。
对于处于?中性和?中性状态的组合来说， ?=rf
这意味着，?中性和?中性组合的价值将随时间以无风险连续复利率的速度增长。
四、Vega与套期保值
衍生证券的Vega（?）用于衡量该证券的价值对标的资产价格波动率的敏感度，它等于衍生证券价格对标的资产价格波动率（?）的偏导数，即：
???f ??（15.12）
证券组合的?值等于该组合中各证券的数量与各证券的?值乘积的总和。证券组合的?值越大,说明其价值对波动率的变化越敏感.
标的资产远期和期货合约的Vega值等于零。 对于无收益资产看涨期权和欧式看跌期权而言，
??ST?t?e?0.5d12?22
对于支付已知连续收益率q的资产的欧式看涨期权和看跌期权而言，
ST?t?e?0.5d1?q(T?t) ??2?如果用rf替换上式的q，上式就是欧式外汇期权的?值计算公式；如果用r替换q，用F替换S，上式就是欧式期货期权的?值计算公式。
应该注意的是，上述?值都是根据布莱克——斯科尔斯期权定价公式（13.43）和
（13.44）算出的，而这两个公式都假定?为常数。因此上述这些公式都隐含着这样的前提：波动率为常数情况下的期权价格与波动率是变量情况下的期权价格是相等的。显然，这仅仅是一个近似的假定。
从上述公式可以看出，?值总是正的，但其大小取决于S、（T－t）、r和?。其中?值与S的关系与?的关系很相似（如图15.9所示）。
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由于证券组合的?值只取决于期权的?值。因此我们可以通过持有某种期权的多头或空头来改变证券组合的?值。只要期权的头寸适量，新组合的?值就可以等于零，我们称此时证券组合处于?中性状态。
遗憾的是，当我们调整期权头寸使证券组合处于?中性状态时，新期权头寸会同时改变证券组合的?值，因此，若套期保值者要使证券组合同时达到?中性和?中性，至少要使用同一标的资产的两种期权。
我们令?p和?p分别代表原证券组合的?值和?值，?1和?2分别代表期权1和期权2的?值，? 1和?2分别代表期权1和期权2的?值，w1和 w2分别代表为使新组合处于?中性和?中性需要的期权1和2的数量，则w1和w2可用下述联立方程求得：
（15.13） ?p??1w1??2w2?0
?p??1w1??2w2?0
（15.14）
例15.12
假设某个处于Delta中性状态的证券组合的?值为6,000，?值为9,000，而期权1的?值为0.8，?值为2.2，?值为0.9，期权2的?值为1.0，?值为1.6，?值为0.6，求应持有多少期权头寸才能使该组合处于?和?中性状态？
根据式（15.13）、（15.14）我们有： 6,000?0.8w1?1.0w2?0
9,000?2.2w1?1.6w2?0
求解这个方程组得：w1? －6522，w2 ?－653。因此，我们因加入6522份第一种期权的空头和653份第二种期权的空头才能使该组合处于?和?中性状态。
加上这两种期权头寸后，新组合的?值为―6522?0.9―653?0.6=―6261.6。因此仍需买入6262份标的资产才能使该组合处于?中性状态。
五、RHO与套期保值
衍生证券的RHO用于衡量衍生证券价格对利率变化的敏感度，它等于衍生证券价格对利率的偏导数：
rho??f ?r（15.15）
对于无收益资产看涨期权而言，
rho?X(T?t)e?r(T?t)N(d2)
对于无收益资产欧式看跌期权而言，
rho?X(T?t)e?r(T?t)[N(d2)?1]
我们只要按第13章的方法对d2的定义作适当调整，则上述公式也适用于支付连续收益率的股价指数和期货的欧式看涨期权和看跌期权。
对于外汇期权，由于存在两种利率：r和rf，因此就有两种rho值，即对应国内利率的rho值和对应国外利率的rho值，对应国内利率的rho的计算公式如前所述，对应国外利率的欧式外汇看涨期权的rho的计算公式为：
rho??S(T?t)erho?S(?t)e?rf(T?t)N(d1)
对应国外利率的欧式外汇看跌期权的rho值为：
?rf(T?t)[1?N(d1)]
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