2. 3.1离散型随机变量的期望
【教学目标】
1了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望．
⒉理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望 【教学重难点】
教学重点：离散型随机变量的期望的概念 教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望 【教学过程】
一、复习引入： 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 ??a??b,a,b是常数， 若?是随机变量，则?也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型） 5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为
P(??xi)?pi，则称表
ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 6. 分布列的两个性质： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．
7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
kPn(??k)?Cnpkqn?k，（k＝0,1,2,…，n，q?1?p）．
… …
n
nn0Cnpq于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 0 1 … k
P
00nCnpq
11n?1Cnpq …
1
kkn?kCnpq
称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记
kkn?kCnpq＝b(k；n，p)．
二、讲解新课
合作探究一：期望的定义 某商场要将单价分别为18
，24
，36
的3种糖果按3：2：1的比例
混合销售，，如何对混合糖果定价才合理？ 1．上述问题如何解决？为什么？
2．如果混合糖果中每颗糖果的质量都相等，你能解释权数的实际含义吗? ∵混合糖果中每颗糖果的质量都相等，∴在混合糖果中任取一粒糖果，它的单价为18
，24
或36
的概率分别为
，和
，若用表示这颗糖果的价
格，则每千克混合糖果的合理价格表示为18×P（=18）+24×P（=24）+36×P（=36） 概念形成 一般地,若离散型随机变量的概率分布为 则称
… … … …
为的数学期望或均值,数学期望又简称为期望。 合作探究二：你能用文字语言描述期望公式吗？ E=
·
+
·
+…+
·
+…
即：离散型随机变量的数学期望即为随机变量取值与相应概率分别相乘后相加。 即学即练: 练习1：离散型随机变量的概率分布
P 1 0.01 100 0.99 求的期望。
练习2：随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数的期望。
2
练习3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分?的期望 答案：99.01：3.5；0.7
合作探究三:若??a??b(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，你能求出E?? ？吗？
ξ η P x1 x2 … … … xn axn?b … … … ax1?b p1 ax2?b p2 pn 于是E??(ax1?b)p1?(ax2?b)p2?…?(axn?b)pn?…
＝a(x1p1?x2p2?…?xnpn?…)?b(p1?p2?…?pn?…) ＝aE??b， 即学即练：1、随机变量ξ的分布列是 ξ P 1 0.5 3 0.3 5 0.2 (1)则Eξ= ？ . (2)若η=2ξ+1，则Eη= ？ 答案：2.4，5.8 熟记若ξ～Β(n，p)，则Eξ=np
例1 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望 解析：甲乙两生答对的题目数这个随机变量是20次实验中“答对”这个事件发生的次数k，服从二项分布。
解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是?,?，则?~ B（20,0.9）,?~B(20,0.25),?E??20?0.9?18,E??20?0.25?5 由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5?和5? 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：
E(5?)?5E(?)?5?18?90,E(5?)?5E(?)?5?5?25
点评：分数与答对个数之间呈一次函数关系，故应用到“E（aξ+b）=aEξ+b”，
3
这个公式。
思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么? 不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分
即学即练：在数字传输通道中，发生一个错误的概率是0.2（p），当然，每次传输试验独立。
令 X 为在每10位传输中（n）发生错误的位数，求 X的数学期望。 答案：2
例2见课本例3
即学即练：统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？解:因为商场内的促销活动可获效益2万元设商场外的促销活动可获效益?万元,则?的分布列 ? P 所以E?=10×0.6＋(-4) ×0.4=4.4因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销. 四、课堂练习： 1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以?表示取出球的最大号码，则E??（ ） A．4； B．5； C．4.5； D．4.75 2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求
⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望； ⑵他罚球2次的得分η的数学期望； ⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望． 答案：1.C2⑴0.7 ⑵1.4． ⑶2.1. 归纳总结 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．
10 －4 0.6 0.4 课后练习与提高
1.若随机变量X的分布列如下表，则EX等于：（ ） X 0 1 2 3 P 2x 3x 7x 2x A．1/18 B.1/9 C.20/9 D.9/20
4
4 3x 5 x
2.随机变量X的分布列为 X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 3.两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X的数学期望EX=_________.
4.(2009 广东佛山模拟)在一次语文测试中，有道把我国四大文学名著《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，一位同学该题的X分。 （1）求该同学得分不少于6分的概率； （2）求X的分布列及数学期望。 答案：1.C 2.A 3.2/3 4.（1）7/24 （2） EX=3 X 0 3 6 12 P 3/8 1/3 1/4 1/24
5
2.3.1离散型随机变量的期望
课前预习学案
一、预习目标
1.了解离散型随机变量的期望定义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望． 2.理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，熟记若ξ～Β(n，p)，则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望 1.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ P x1 p1 x2 p2 … … xn pn … … 则称 E??_________________ 为ξ的数学期望，简称_______________． 2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了____________
3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令
1p1?p2?…?pn，则有p1?p2?…?pn?，E??，所以ξ的数学期望又称为n____________ 4. 期望的一个性质:若??a??b(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为 ξ η P E??____________ x1 x2 … … … xn axn?b … … … ax1?b p1 ax2?b p2 pn 5.若ξ～Β(n，p)，则Eξ=____________ 三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案
学习目标：
1了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望．
⒉理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望 6
学习重点：离散型随机变量的期望的概念 学习难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望 学习过程：
一、复习引入：
1.随机变量：如果随机试验的结果_________________，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用_________________等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以_________________，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以________________，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是________________；但是离散型随机变量的结果可以按________________，而连续性随机变量的结果________________ 若?是随机变量，??a??b,a,b是常数，则?也是随机变量 并且不改变其属性
（离散型、连续型） 5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为P(??xi)?pi，则称表 ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 6. 分布列的两个性质： ⑴_______________； ⑵________________． 7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是 ________________，（k＝0,1,2,…，n，q?1?p）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 0 1 … k … …
n nn0CnpqP 00nCnpq
11n?1Cnpq …
kkn?kCnpq
称这样的随机变量ξ服从________________，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记
kkn?kCnpq
合作探究一：期望定义 某商场要将单价分别为18
，24
，36
的3种糖果按3：2：1的比例
混合销售，，如何对混合糖果定价才合理？
1上述问题如何解决？为什么
2如果混合糖果中每颗糖果的质量都相等，你能解释权数的实际含义吗? 二．概念形成
7
一般地,若离散型随机变量的概率分布为 … … … … 则称____________ 为的数学期望或均值,数学期望又简称为____________ 合作探究二：你能用文字语言描述期望公式吗？ E=
·
+
·
+…+
·
+…
即：________________________ 即学即练: 练习1：离散型随机变量的概率分布
P 1 0.01 100 0.99 求的期望。 练习2：随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数的期望。 练习3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分?的期望 答案：99.01：3.5；0.7
合作探究三:若??a??b(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，你能求出E?? ____________吗？
即学即练：1、随机变量ξ的分布列是 ξ P 1 0.5 3 0.3 5 0.2 （1）则Eξ= ____________ . （2）若η=2ξ+1，则Eη=____________ 答案：2.4，5.8
熟记若ξ～Β(n，p)，则Eξ=np
例1 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，
8
满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望 解析：甲乙两生答对的题目数这个随机变量是20次实验中“答对”这个事件发生的次数k，服从二项分布。 解：
点评：分数与答对个数之间呈一次函数关系，故应用到“E（aξ+b）=aEξ+b”，这个公式。
思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么?
即学即练：在数字传输通道中，发生一个错误的概率是0.2（p），当然，每次传输试验独立。
令 X 为在每10位传输中（n）发生错误的位数，求 X的数学期望。
答案：2
例2见课本例三
即学即练：统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？ 解析：损失4万元即收益为 －4万元。 解：
四、课堂练习：
1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以?表示取出球的最大号码，则E??（ ）
A．4； B．5； C．4.5； D．4.75 2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求
⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望； ⑵他罚球2次的得分η的数学期望； ⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望． 答案：1.C2⑴0.7 ⑵1.4． ⑶2.1.
归纳总结 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．
课后练习与提高
1.若随机变量X的分布列如下表，则EX等于：（ ） X 0 1 2 3 P 2x 3x 7x 2x A．1/18 B.1/9 C.20/9 D.9/20
9
4 3x 5 x
2.随机变量X的分布列为 X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 3.两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X的数学期望EX=_________.
4.(2009 广东佛山模拟)在一次语文测试中，有道把我国四大文学名著《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，一位同学该题的X分。 （1）求该同学得分不少于6分的概率； （2）求X的分布列及数学期望。 答案：1.C 2.A 3.2/3 4.（1）7/24 （2） EX=3 X 0 3 6 12 P 3/8 1/3 1/4 1/24
10
2.3.2离散型随机变量的方差
【教学目标】
1了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差． 2.了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 【教学重点】
离散型随机变量的方差、标准差 【教学难点】
比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 【教学过程】 一、前置测评：
1.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ P x1 p1 x2 p2 … … xn pn … … 则称 E??x1p1?x2p2?…?xnpn?… 为ξ的数学期望，简称期望．
2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 3 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1?p2?…?pn，则有p1?p2?…?pn?为平均数、均值 4. 期望的一个性质: E(a??b)?aE??b
5.若ξ～Β(n，p)，则Eξ=np 二、讲解新课：
问题探究： 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的分布列如下:
11，E??(x1?x2?…?xn)?，所以ξ的数学期望又称nnx1 P
8 0.2
9 0.6
10 0.2
x2 P
8 0.4
9 0.2
10 0.4
试比较两名射手的射击水平. .
下面的分析对吗？ ∵
E???8?0.2?9?0.6?10?0.2?9
E?2?8?0.4?9?0.2?10?0.4?9
∴甲、乙两射手的射击水平相同.
11
（你赞成吗？为什么？）
显然两名选手的水平是不同的,这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性.样本方差的公式及作用是什么，你能类比这个概念得出随机变量的方差吗？ 1.方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值，是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，…，那么,
D?＝(x1?E?)2?p1＋(x2?E?)2?p2＋…＋(xn?E?)2?pn＋… 称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E?是随机变量ξ的期望． 2. 标准差:D?的算术平方根D?叫做随机变量ξ的标准差，记作??．
注：方差与标准差都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。 即学即练：
1.(课本第66页例4)随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数X的均值，方差和标准差。
2.若随机变量x满足P（x＝c）＝1，其中c为常数，求Ex和Dx. 答案：（1）3.5；2.92；1.71(2)c;0 3.刚才问题再思考：其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？，如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？ 解:∵ E???8?0.2?9?0.6?10?0.2?9
E?2?8?0.4?9?0.2?10?0.4?9
∴甲、乙两射手的射击平均水平相同. 又∵
D???0.4,
D?2?0.8,
∴甲射击水平更稳定.
如果对手在8环左右,派甲.
如果对手在9环左右,派乙. .方差的性质
（1）D(a??b)?a2D?；（2）D??E?2?(E?)2；
（3）若ξ～B(n，p)，则D??np(1-p) （4）若ξ服从两点分布，则D??p(1-p) 即学即练
已知x~B(100,0.5),则Ex=___,Dx=____,sx=___. E(2x-1)=____, D(2x-1)=____, s(2x-1)=_____
答案50；25；5；99；100；10
12
例题:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息： 乙单位不同职位月工资X2/元 获得相应职位的概率P2 1000 0.4 1400 0.3 1800 0.2 2200 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解：
在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自己能力很强,应选择工资方差大的单位,即乙单位;如果认为自己能力不强,就应选择工资方差小的单位,即甲单位. 即学即练
甲乙两人每天产量相同，它们的 次品个数分别为???，其分布列为 ? 0 1 2 3 ? 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 判断甲乙两人生产水平的高低？ 答案：甲乙两人次品个数的平均值相等，但甲的稳定性不如乙，乙的生产水平高 . 归纳总结：
1随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
2随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
3标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 4求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义
求出Eξ；④根据方差、标准差的定义求出D?、??.若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．
5对于两个随机变量?1和?2，在E?1和E?2相等或很接近时，比较D?1和 甲单位不同职位月工资X1/元 获得相应职位的概率P1 1200 0.4 1400 0.3 1600 0.2 1800 0.1 13
D?2，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要 课堂练习：已知
?~B?n,p?,E??8,D??1.6，则n,p的值分别是（ ）
A．100和0.08； B．20和0.4； C．10和0.2； D．10和0.8 答案：1.D 2. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ 答案：2；1.98.
3. 设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4 4.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量?和?，
已知?和 ?的分布列如下：（注得分越大，水
? p 1 a 2 0.1 3 平越高） 0.6 ? p 1 0.3 2 b 3 0.3 试分析甲、乙技术状况 答案：1.D2.2；1.98. 课后练习与提高
1．甲、乙两个运动员射击命中环数X、Y的分布列如下： 8 9 10 环数k P(X=k) 0.3 0.2 0.5 P(Y=k) 0.2 0.4 0.4 其中射击比较稳定的运动员是（ ） A．甲 B.乙 C.一样 D.无法比较 2.设随机变量X~B（n，p），且EX=1.6，DX=1.28，则（ ） A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4 C.n=5,p=0.32 D.n=7,p=0.45
3.（2008 高考宁夏、海南卷）AB两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2。根据市场分析，X1和X2的分布列分别为 X1 5% 10%
14
X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 P 0.8 0.2 （1）在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1和DY2；
（2）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100-x万元投资B项目，f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和。求f（x）的最小值，并指出x为何值时，f（x）取到最小值。（注：D（aX+b）=a2DX） 答案：1.B 2.A 3.(1)4,12 (2)x=75时，f（x）=3
15
2.3.2离散型随机变量的方差
课前预习学案
一、预习目标
了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差．
2.了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 二、预习内容
1、 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值，是x1，x2，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，
pnxn，…，
，…，那么, _________________
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E?是随机变量ξ的期望． 2、标准差: _________________叫做随机变量ξ的标准差，记作_________________．
注：方差与标准差都是反映_________________它们的值越小，则_________________小，即越集中于均值。 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标 1了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差．
2.了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 学习重难点：离散型随机变量的方差、标准差；比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 二、学习过程
问题探究： 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的分布列如下 x1 P x2 P 8 0.2 8 0.4 9 0.6 9 0.2 10 0.2 10 0.4 试比较两名射手的射击水平. .
16
合作探究一：方差的概念
显然两名选手的水平是不同的,这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性.样本方差的公式及作用是什么，你能类比这个概念得出随机变量的方差吗？ 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值，是x1，x2，…，取这些值的概率分别是p1，p2，…，
pnxn，…，且
，…，那么, _________________称为随
机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E?是随机变量ξ的期望．
标准差: _________________做随机变量ξ的标准差，记作_________________
注：方差与标准差都是反映_________________它们的值越小，则
_________________小。 即学即练：
1.(课本第66页例4)随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数X的均值，方差和标准差。
2.若随机变量x满足P（x＝c）＝1，其中c为常数，求Ex和Dx. 3.刚才问题再思考：其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？，如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？ 答案：（1）3.5；2.92；1.71(2)c;0 （3）如果对手在8环左右,派甲. 如果对手在9环左右,派乙. 熟记结论：.方差的性质 222D(a??b)?aD?D??E??(E?)（1）；（2）；
（3）若ξ～B(n，p)，则D??np(1-p) （4）若ξ服从两点分布，则D??p(1-p) （ 即学即练：已知x~B(100,0.5),则Ex=___,Dx=____,sx=___. E(2x-1)=____, D(2x-1)=____, s(2x-1)=_____ 答案50；25；5；99；100；10
例2:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息： 乙单位不同职位月工资X2/元 获得相应职位的概率P2 1000 0.4 1400 0.3 1800 0.2 2200 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解析;先求期望，看期望是否相等，在两个单位工资的数学期望相等的情况下，甲单位不同职位月工资X1/元 获得相应职位的概率P1 1200 0.4 1400 0.3 1600 0.2 1800 0.1 再算方差，,如果认为自己能力很强,应选择工资方差大的单位,;如果认为自己能力不强,就应选择工资方差小的单位. 即学即练
甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数分别为???，其分布列为
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? 0 1 2 3 ? 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 判断甲乙两人生产水平的高低？ 答案：甲乙两人次品个数的平均值相等，但甲的稳定性不如乙，乙的生产水平高 . 归纳总结：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 （4）求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的
定义求出Eξ；④根据方差、标准差的定义求出D?、??.若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．
（5）对于两个随机变量?1和?2，在E?1和E?2相等或很接近时，比较D?1和
D?2，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要
四．课堂练习 1.已知
?~B?n,p?,E??8,D??1.6，则n,p的值分别是（ ）
A．100和0.08； B．20和0.4； C．10和0.2； D．10和0.8 2. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ
3. 设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4
4.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量?和?，
已知?和 ?的分布列如下：（注得分越大，水
? p 1 a 2 0.1 3 0.6 平越高） ? p 1 0.3 2 b 3 0.3 试分析
甲、乙技术状况。
答案：1.D2.2；1.98.
3. 证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p, 所以，Eξ=0×(1-p)+1×p=p 18
?p?(1?p)?1?则 Dξ=（0-p）2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p) ?? ???24??4.解：由0.1+0.6+a+1?a=0.3 0.3+0.3+b=1?b=0.4
2∴E?=2.3 , E?=2.0：
故甲的水平高。 课后练习与提高
1．甲、乙两个运动员射击命中环数X、Y的分布列如下： 8 9 10 环数k P(X=k) 0.3 0.2 0.5 P(Y=k) 0.2 0.4 0.4 其中射击比较稳定的运动员是（ ） A．甲 B.乙 C.一样 D.无法比较 2.设随机变量X~B（n，p），且EX=1.6，DX=1.28，则（ ） A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4 C.n=5,p=0.32 D.n=7,p=0.45 3.（2008 高考宁夏、海南卷）AB两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2。根据市场分析，X1和X2的X2 2% 8% 12% 分布列分别为 P 0.2 0.5 0.3 X1 5% 10% P 0.8 0.2 （1）在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1和DY2； （2）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100-x万元投资B项目，f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和。求f（x）的最小值，并指出x为何值时，f（x）取到最小值。（注：D（aX+b）=a2DX） 答案：1.B 2.A 3.(1)4,12 (2)x=75时，f（x）=3
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