小初高教案试题导学案集锦
课时达标检测（四十九） 圆锥曲线中的定点、定值、存在
性问题
[一般难度题——全员必做]
1．(2018·郑州质检)已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y＝－1相切． (1)求圆心M的轨迹方程；
(2)动直线l过点P(0，－2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．
解：(1)由题意得，点M与点(0,1)的距离始终等于点M到直线y＝－1的距离，由抛物p
线的定义知圆心M的轨迹是以点(0,1)为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，则＝1，p＝
22.∴圆心M的轨迹方程为x2＝4y.
2??x＝4y，
(2)设直线l：y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(－x2，y2)，联立?消
??y＝kx－2，
去y整理得x2－4kx＋8＝0，
∴x1＋x2＝4k，x1x2＝8.
x2x212y1－y24－4x1－x2x1－x2
kAC＝＝＝，直线AC的方程为y－y1＝(x－x1)．
44x1＋x2x1＋x2
2x1－x2x1－x2x1?x1－x2?x1x1－x2x1x2即y＝y1＋(x－x1)＝x－＋＝x＋，
444444
x1－x2x1x2x1－x2
∵x1x2＝8，∴y＝x＋＝x＋2，即直线AC恒过定点(0,2)．
444
x22
2．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆E：＋y＝1上的
4非坐标轴上的点，且4kOA·kOB＋1＝0(kOA，kOB分别为直线OA，OB的斜率)．
222
(1)证明：x21＋x2，y1＋y2均为定值；
(2)判断△OAB的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：(1)证明：依题意，x1，x2，y1，y2均不为0， 4y1y2则由4kOA·kOB＋1＝0，得＋1＝0，
x1x2x1x2化简得y2＝－，
4y1
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因为点A，B在椭圆上，
2
所以x21＋4y1＝4，① 2x22＋4y2＝4，②
把y2＝－
x1x2代入②， 4y1
222
整理得(x21＋4y1)x2＝16y1.
222结合①得x22＝4y1，同理可得x1＝4y2， 222从而x21＋x2＝4y2＋x2＝4，为定值， 2222x1y1＋y2＝y1＋＝1，为定值．
4
1
(2)S△OAB＝|OA|·|OB|sin∠AOB
2＝12
2222
x21＋y1·x2＋y2·1－cos∠AOB
1＝21＝ 2
222
x2 1＋y1·x2＋y2·
1－
222
?x1＋y2??x＋y?122
?x1x2＋y1y2?2
2222
?x21＋y1??x2＋y2?－?x1x2＋y1y2?
1
＝|x1y2－x2y1|. 2
x1x2x1x2222
由(1)知x22＝4y1，x1＝4y2，易知y2＝－，y1＝或y2＝，y1＝－， 2222
2
x21＋4y111?122?S△OAB＝|x1y2－x2y1|＝?2x1＋2y1?＝＝1，
224
因此△OAB的面积为定值1.
x2y2
3．(2018·广州惠州调研)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，
abF2(1,0)，点A1，
??2?在椭圆C上． 2?(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直5―→―→线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足PM＝NQ？若存在，求出直线的方程；
3若不存在，说明理由．
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解：(1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1， 因为A1，
??2?
在椭圆C上，所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝22， 2?
因此a＝2，b2＝a2－c2＝1， x22
故椭圆C的方程为＋y＝1.
2
(2)不存在满足条件的直线，证明如下：设直线的方程为y＝2x＋t， 5x3，?，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P?3??
??y＝2x＋t，
由?x2消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0，
＋y2＝1，??2
2t
所以y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36(t2－8)>0，
9故y0＝
y1＋y2t
＝，且－3 5―→―→ x1－x3，y1－?＝(x4－x2，y4－y2)， 由PM＝NQ得?3??5525 所以有y1－＝y4－y2，y4＝y1＋y2－＝t－. 33937 又－3 3 与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1,1]矛盾． 因此不存在满足条件的直线． [中档难度题——学优生做] x2y2 1.如图已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为 abA，且|AF|＝1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直 ―→―→ 线x＝4交于点Q，问，是否存在一个定点M(t,0)，使得MP·MQ＝0.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 解：(1)由c＝1，a－c＝1，得a＝2，∴b＝3， K12资源汇总，活到老学到老 小初高教案试题导学案集锦 x2y2 故椭圆C的标准方程为＋＝1. 43 ??y＝kx＋m，(2)由? 22 ?3x＋4y＝12，? 消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， ∴Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即m2＝3＋4k2. 4km4k设P(xP，yP)，则xP＝－＝－， 2m3＋4k4k34k23 －m，m?. yP＝kxP＋m＝－＋m＝，即P???mm∵M(t,0)，Q(4,4k＋m)， 4k3―→―→ －m－t，m?，MQ＝(4－t,4k＋m)， ∴MP＝??? 4k4k3―→―→2 －m－t?·∴MP·MQ＝?(4－t)＋·(4k＋m)＝t－4t＋3＋??mm(t－1)＝0恒成立，故 ??t－1＝0， ?2解得t＝1. ??t－4t＋3＝0， ∴存在点M(1,0)符合题意． x2y2 2．(2018·河北质检)已知椭圆E：2＋2＝1的右焦点为F(c,0)，且a＞b＞c＞0，设短轴 ab的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为―→―→ 交于C，G两点，且|GF|＋|CF|＝4. (1)求椭圆E的方程； ―→ (2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得OP2＝―→―→4PA·PB成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． ―→―→ 解：(1)由椭圆的对称性知|GF|＋|CF|＝2a＝4， ∴a＝2.又原点O到直线DF的距离为bc3 ∴a＝，∴bc＝3， 2 又a2＝b2＋c2＝4，a＞b＞c＞0， K12资源汇总，活到老学到老 3， 2 3 ，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相2
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