厦门理工学院高数下册考试重点 二阶常系数微分方程（答案）

二阶微分方程

一． 解的结构

齐次的解+齐次的解 还是齐次的解（理解即可） （213页 定理8.3.1）

非齐次的解+对应的齐次的解 是非齐次的解（理解即可）

（214页 定理8.3.3）

二． 二阶常系数非齐次方程（重点 , 214页8.3.5） 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解

重点在求 非齐次的特解

二． 课本217页 表格8.1；例题4，例题5，例题6(必须掌握) 219页（倒数第四行，综上所述。。。；掌握） 掌握例题8

选择题

1．具有特解y3x3x1?e，y2?2xe的二阶常系数齐次线性方程是 （ B （A）y???9y?0 （B）y???6y??9y?0 （C）y???9y?0 （D）y???6y??9y?0

3．设微分方程y???2y??3y?f(x)有特解y*，则它的通解是 （ A （A）y?C?x3x1e?C2e3x?y* （B）y?Cx1e??C2e （C）y?C?x1xe?C3x2xe?y* （D）y?Cx?3x1e?C2e?y*

一． 填空题

1. 微分方程y???2y??3y?0的通解是 y ? C 1e?x ? C3x 2

e(C1,C2为常数)2．微分方程y???6y??9y?0的通解是 y ? ( C 1 ? C 2 x )e?3x (C1,C2为常数) 61

） ）

3. 特解y1?e和y?ex?2x的二阶常系数齐次线性方程为

?xy???y??2y?0 4方程y???3y??2y?3xe的特解可设为 . 5．方程y???6y??9y?(x?1)e的特解可设为 .

三．计算题

1．求方程y???y?的通解（两个不同的根）

解：特征方程为 r?r，得特征根为 r1?0,r2?1 所以方程的通解 y?C1?C2ex 2．求微分方程y???5y??6y?ex(x?1)的通解

2x(A0?A1x)e?x3xx2(A0?A1x)e3x解:特征方程为:?2?5??6?0,??1??1,?2?6?齐次微分方程的通解为y?C1e?x?C2e6x设非齐次微分方程的特解为e(Ax+B),代入微分方程得 求 A和B.以下答案略

x

62