2019-2020年中考数学总复习第二轮中考题型专题专题复习六几何综合题试题 

2019-2020年中考数学总复习第二轮中考题型专题专题复习六几何综合题试题

1．(2016·德州)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．

(1)如图1，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；

(2)如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD.点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；

(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明)

图1 图2

解：(1)证明：连接BD.

∵E、H分别是AB、AD的中点， 1

∴EH＝BD，EH∥BD.

2

∵F、G分别是BC、CD的中点， 1

∴FG＝BD，FG∥BD.

2

∴EH＝FG，EH∥FG.

∴中点四边形EFGH是平行四边形． (2)中点四边形EFGH是菱形． 证明：连接AC、BD.

∵∠APB＝∠CPD，∴∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD，即∠BPD＝∠APC. 又∵PA＝PB，PC＝PD，

∴△APC≌△BPD(SAS)．∴AC＝BD.

∵点E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点， 11

∴EF＝AC，FG＝BD.∴EF＝FG.

22又∵四边形EFGH是平行四边形，

∴中点四边形EFGH是菱形．

图3

(3)当∠APB＝∠CPD＝90°时，如图3，AC与BD交于点O，BD与EF，AP分别交于点M，Q，中点四边形EFGH是正方形．理由如下：

由(2)知：△APC≌△BPD，∴∠PAC＝∠PBD. 又∵∠AQO＝∠BQP，∴∠AOQ＝∠APB＝90°. 又∵EF∥AC，∴∠OMF＝∠AOQ＝90°. 又∵EH∥BD，∴∠HEF＝∠OMF＝90°. 又∵四边形EFGH是菱形， ∴中点四边形EFGH是正方形．

2．(2016·菏泽)如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE. (1)如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°. ①求证：AD＝BE； ②求∠AEB的度数；

(2)如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE＝23CM＋23

BN. 3

图1 图2

解：(1)①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED，∴AC＝BC，CD＝CE. ∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED， ∴∠ACB＝∠DCE.∴∠ACD＝∠BCE. ∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE. ②由①得△ACD≌△BCE，

∴∠ADC＝∠BEC＝180°－∠CDE＝130°.

∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°.

(2)证明：在等腰△DCE中，∵CD＝CE，∠DCE＝120°，CM⊥DE， 1

∴∠DCM＝∠DCE＝60°，DM＝EM.

2

在Rt△CDM中，DM＝CM·tan∠DCM＝CM·tan60°＝3CM，∴DE＝23CM. 由(1)，得∠ADC＝∠BEC＝150°，AD＝BE， ∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝120°. ∴∠BEN＝60°. 在Rt△BEN中，BE＝23

∴AD＝BE＝BN.

3

23

又∵AE＝DE＋AD，∴AE＝23CM＋BN.

3

3．(2016·东营)如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．

(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交CF于点H，交AF于点N. ①求证：BD⊥CF；

②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．

BN23

＝BN.

sin60°3

图1 图2 图3

解：(1)BD＝CF成立．

证明：∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAF＝θ，AD＝AF， ∴△ABD≌△ACF(SAS)．∴BD＝CF. (2)①证明：由(1)得，△ABD≌△ACF， ∴∠HFN＝∠ADN.

又∵∠HNF＝∠AND， ∴∠NHF＝∠NAD＝90°. ∴HD⊥HF，即BD⊥CF.

②连接DF，延长AB交DF于点M.

在△MAD中，∵∠MAD＝∠MDA＝45°， ∴∠BMD＝90°.

∵AD＝32，四边形ADEF是正方形， 32

∴MA＝MD＝＝3，FD＝6.

2∴MB＝3－2＝1，DB＝1＋3＝10. 在Rt△BMD和Rt△FHD中， ∵∠MDB＝∠HDF， ∴△BMD∽△FHD. ∴

MDBD310910＝，即＝.∴DH＝. HDFDHD65

2

2

4．(2016·宁夏)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD.若两个点同时运动的时间为x秒(0＜x≤3)，解答下列问题：

(1)设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值； (2)是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由．

解：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD＝4，CD＝AB＝3. 当运动x秒时，则AQ＝x，BP＝x，

∴BQ＝AB－AQ＝3－x，CP＝BC－BP＝4－x. 11

∴S△ADQ＝AD·AQ＝×4x＝2x，

2211312

S△BPQ＝BQ·BP＝(3－x)x＝x－x，

2222113

S△PCD＝PC·CD＝·(4－x)×3＝6－x.

222又S矩形ABCD＝AB·BC＝3×4＝12，

3123121122

∴S＝S矩形ABCD－S△ADQ－S△BPQ－S△PCD＝12－2x－(x－x)－(6－x)＝x－2x＋6＝(x－2)＋4，即S＝(x－2)＋4.

222222∴S为开口向上的二次函数，且对称轴为直线x＝2.

∴当0＜x≤2时，S随x的增大而减小； 当2＜x≤3时，S随x的增大而增大， 9

又当x＝0时，S＝6，当S＝3时，S＝. 2

但x的范围内取不到x＝0，∴S不存在最大值． 当x＝2时，S有最小值，最小值为4.

(2)存在，理由：由(1)可知BQ＝3－x，BP＝x，CP＝4－x. 当QP⊥DP时，则∠BPQ＋∠DPC＝∠DPC＋∠PDC， ∴∠BPQ＝∠PDC.又∵∠B＝∠C，

∴△BPQ∽△CDP. ∴

BQBP3－xx7＋137－13＝，即＝，解得x＝(舍去)或x＝. PCCD4－x322

7－13∴当x＝时，QP⊥DP.

2

5．(2016·泰安)(1)已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC＝∠DCE，若∠A＝60°(如图1)，求证：EB＝AD；

(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变(如图2)，(1)的结论是否成立，并说明理由；

EB

(3)若将(1)中的“若∠A＝60°”改为“∠A＝90°”，其他条件不变，则的值是多少？(直接写出结论，不要求写

AD解答过程)

图1 图2

解：(1)证明：过D点作BC的平行线交AC于点F. ∵△ABC是等腰三角形，∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形．∴∠ABC＝60°. ∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠ABC＝60°. ∴△ADF是等边三角形． ∴AD＝DF，∠AFD＝60°.

∴∠DFC＝180°－60°＝120°.

∵∠DBE＝180°－60°＝120°，∴∠DFC＝∠DBE. 又∵∠FDC＝∠DCE，∠DCE＝∠DEC， ∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD. ∴△DBE≌△CFD(AAS)． ∴EB＝DF.∴EB＝AD.

(2)EB＝AD成立．理由如下：

过D点作BC的平行线交AC的延长线于点F. 同(1)可证△ADF是等边三角形， ∴AD＝DF，∠AFD＝60°.

∵∠DBE＝∠ABC＝60°，∴∠DBE＝∠AFD. ∵∠FDC＝∠DCE，∠DCE＝∠DEC， ∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD. ∴△DBE≌△CFD(AAS)． ∴EB＝DF.∴EB＝AD. (3)EB

AD

＝2.理由如下： 如图3，过D点作BC的平行线交AC于点G.

图3

∵△ABC是等腰三角形，∠A＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∴∠DBE＝180°－45°＝135°. ∵DG∥BC，

∴∠GDC＝∠DCE，∠DGC＝180°－45°＝135°. ∴∠DBE＝∠DGC. ∵∠DCE＝∠DEC，

∴ED＝CD，∠DEC＝∠GDC.

∴△DBE≌△CGD(AAS)．∴BE＝GD. ∵∠ADG＝∠ABC＝45°，∠A＝90°， ∴△ADG是等腰直角三角形． EB

∴DG＝2AD.∴BE＝2AD.∴＝2.

AD

6．(2016·烟台)【探究证明】

EFAD

(1)在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证：＝；

GHAB【结论应用】

EF11BN

(2)如图2，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上．若＝，则的值为________；

GH15AM【联系拓展】

DN

(3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求

AM的值．

图1 图2 图3

解：(1)证明：过点A作AP∥EF，交CD于点P，过点B作BQ∥GH，交AD于点Q. ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC.

∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形．∴AP＝EF，GH＝BQ. 又∵GH⊥EF，

∴AP⊥BQ.∴∠QAP＋∠AQB＝90°.

∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°. ∴∠DAP＋∠DPA＝90°.∴∠AQB＝∠DPA. APADEFAD

∴△PDA∽△QAB.∴＝.∴＝. BQABGHAB(2)∵EF⊥GH，AM⊥BN，

EFADBNAD

∴由(1)中的结论可得＝，＝，

GHABAMAB∴

BNEF1111＝＝.故答案为. AMGH1515