北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结
第一章 勾股定理
1、勾股定理
（1）直角三角形两直角边
a，b的平方和等于斜边c
的平方，即a2?b2?c2
（2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）
（3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c有关系a2?b2?c2，
那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足a2?b2?c2的三个正整数a，b，
c，称为勾股数。
常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）
（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）……
规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边
是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a为奇数且a＜b时，如果b+c=a2
那么a,b,c就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……
（2）大于2的任意偶数，2n(n＞1)都可构成一
组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1
米，梯子滑动后停在DE位置上，如图（2）所示，测如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）……
得得BD=0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？
4、常见题型应用：
A A E （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上
的高线/周长/面积……
C B C B D （1） （2）
（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长 思维入门指导：梯子顶端A下落的距离为AE，即
之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面求AE的长。已知AB和BC，根据勾股定理可求AC，积……
只要求出EC即可。
（3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 解：在Rt△ACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~
∴AC=2
判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的 ∵BD=0.5，∴CD=2 平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.
确定形状
在Rt?ECD中，EC2?ED2?CD2?2.52?22?2.25 （4）构建直角三角形解题
∴EC=1.5
例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为 ?AE?AC?EC?2?15.?05.
10。求直角三角形的两直角边。
答：梯子顶端下滑了0.5米。 解：设两直角边为3x，4x，由题意知： 点拨：要考虑梯子的长度不变。
例5. 如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠
222222ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。
(3x)?(4x)?100，9x?16x?100，25x?100，x?4 A ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。
D 中考突破
C B （1）中考典题
思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD， 例. 如图（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端似乎不得要领，连结AC，求出S?ABC?S?ACD即可。
A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5
解：连结AC，在Rt△ADC中，
1 / 8
A D C B
AC2?CD2?AD2?122?92?225
?AC?15
在△ABC中，AB2=1521
AC2?BC2?152?362?1521
?AB2?AC2?BC2，??ACB?90°
1
?S?ABC?S?ACD?2AC?BC?12AD?CD
?11
2?15?36?2?12?9?270?54?216(m2)
答：这块地的面积是216平方米。
点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。
第二章 实数
基本知识回顾
1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。
??算术平方根定义如果一个非负数x的平方等于a，即实数x 2 ? a 负有理数 ?那么这个非负数?x就叫做a的算术平方根，记为a，a?0 正无理数 ?算术平方根为非负数??? 无理数 无限不循环小??正数的平方根有2个，它们互为相反数?平方根??0的平方根是0??数 ??2.无理数的表示??负数没有平方根?定义：如果一个数的平方等于a，即x2?a，那么这个数就 负无理数 ??叫做a的平方根，记为?a?2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 ??正数的立方根是正数??在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时?立方根??负数的立方根是负数?????0的立方根是0之，归纳起来有四类： ??定义：如果一个数x的立方等于a，即x3?a，那么这个数（1）开方开不尽的数，如x7,32等； ??就叫做a的立方根，记为3a.
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含
?有π的数，如π/3+8等； ?概念有理数和无理数统称实数??（3）有一定规律，但并不循环的数，如??正数?分类?有理数????3.实数及其相关概念??或?无理数?00.1010010001…等； ????负数（4）某些三角函数值，如sin60o等 ?绝对值、相反数、倒数的意义同有理数?二、实数的倒数、相反数和绝对值 ?实数与数轴上的点是一一对应?1、相反数 ?实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则?实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两?运算规律相同。个数叫做互为相反数，零的相反数是零） ，从数轴上
看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，一、实数的概念及分类 如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之
1、实数的分类 亦成立。 正有理数 2、绝对值
有理数 零 有限小数和在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫无限循环小数
2 / 8 做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|= -a，则a≤0。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算
利用非负数解题的常见类型
已知x?5?|y?3|?0，求x2 例1.
?2y的值。
解
：
?x?5?0，|y?3|?0，且x?5?|y?3|?0
?x?5?0，|y?3|?0 ?x?5?0，y?3?0 ?x?5，y?3
?x2?2y?25?6?19
点拨：利用算术平方根，绝对值非负性解题。
三、平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方
根。特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a”，读作根号a。 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。 表示方法：正数a的平方根记做“?a”，读作“正、负根号a”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 注意a的双重非负性：被开方数与结果均为非
负数。即a≥0， 3、立方根
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。
表示方法：记作3a
性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：3?a??3a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、实数大小的比较
1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，
3 / 8
正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
a?b?0?a?b, a?b?0?a?b,
a?b?0?a?b
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
a b? 1 ? a ? b ; a ? 1 b? a ? b;ab?1?a?b;
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则
a?b?a?b。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则
a2?b2?a?b。
（6）倒数法：设a、b是同正,如果1/a＞1/b，则a＜b;同负，如果1/a＞1/b，则a＞b
五、算术平方根有关计算（二次根式）
1、含有二次根号“”；被开方数a必须是非
负数。
2、性质：
（1）(a)2?a(a?0)
2（2）a?a?
a(a?0)
ab?a?b(a?0,b?0)
（1）（2）?2?1??2?1??；； ?a(a?0)
（（
3
）
a?b?ab(a?0,b?0)）
（4）
aa?指定线段长度，则所得线段为所求.
通过以上计算，观察规律，写出用n（n为正整数） (a?0,b?0)
.?3?2??3?2??（3）?2?3??2?3??
（4）?5?2??5?2??
移后的点连成线段，即为原线段平移后的线段； 作法2：将线段一端点平移，然后过平移 后的点
；作原线段的平行线，在该平行线适当方向截取长度为
bb（ab?ab(a?0,b?0)）
3、运算结果若含有“
a”形式，必须满足：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
六、实数的运算
（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方 （2）实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
（3）运算律
加法交换律
a?b?b?a
加法结合律 (a?b)?c?a?(b?c) 乘法交换律
ab?ba
乘法结合律 (ab)c?a(bc) 乘法对加法的分配律 a(b?c)?ab?ac
例. 计算：
表示上面规律的等式___________。 解
：
?2?2?1?1；?3?2??2?2?1；4??3?2?1；?5?2?4?1
规律：?n?1?n??n?1?n??1
第三章 图形的平移与旋转
一、平移
1、定义：在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
2、要素（或条件）：方向，即前后对应点的射线方向；距离，即对应点之间的距离
3、性质：平移前后两个图形的形状和大小不变（即
全等图形），对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等。 4、平移作图： 线段的平移作法：
作法1：将线段两端点分别平移，然后将两个平
4 / 8
二、旋转
1、定义：在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、要素（或条件）：旋转中心（定点）、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度（0~3600）
3、性质：旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。 4、旋转作图：
（1）作图步骤：观察基本图案（确定关键点）——确定旋转的三要素——找到对应点——连接对应点——作答
（2）旋转作图的方法：1、把各关键点依次与旋转中心连接
2、按要求向顺时针/逆时针旋转相应角度
3、截取对应线段
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