专题跟踪检测（十七） 概率、随机变量及其分布列
一、全练保分考法——保大分
1．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )
A.C.
1
121 15
B.D.1 141 18
解析：选C 不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C10＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，31
∴所求概率为＝.故选C.
4515
2．(2018·武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax＋bx＋1＝0有实数解的概率是( )
A.C.7 3619 36
1B. 2D.5 18
*
2
2
??1≤a≤6，a∈N，
解析：选C 投掷骰子两次，所得的点数a和b满足的关系为?*
?1≤b≤6，b∈N.?
2
2
2
∴a和b的组合有36种，若方程ax＋bx＋1＝0有实数解，则Δ＝b－4a≥0，∴b≥4a.
当b＝1时，没有a符合条件；当b＝2时，a可取1；当b＝3时，a可取1,2；当b＝4时，a可取1,2,3,4；当b＝5时，a可取1,2,3,4,5,6；当b＝6时，a可取1,2,3,4,5,6.
192
满足条件的组合有19种，则方程ax＋bx＋1＝0有实数解的概率P＝.
36
3．(2018·合肥质检)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布
N(100,4)．现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品
估计有( )
附：若X服从正态分布N(μ，σ)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.954 5.
A．3 413件 C．6 826件
B．4 772件 D．8 186件
2
1
解析：选D 由题意知μ＝100，σ＝2，则P(98＜X＜104)＝[P(μ－σ＜X＜μ＋σ)
2＋P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)]≈0.818 6，所以质量在[98,104]内的产品估计有10
000×0.818 6＝8 186件．
4.(2019届高三·洛阳联考)如图，圆O：x＋y＝π内的正弦曲线y＝sin x与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是( )
A.C.42 π22 π
B.D.43 π23 π
2
2
2
解析：选B 由题意知圆O的面积为π，正弦曲线y＝sin x，x∈[－π，π]与x轴围
3
?成的区域记为M，根据图形的对称性得区域M的面积S＝2??0sin xdx＝－2cos x?
?0
ππ
＝4，
由几何概型的概率计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P＝4
π3
，故选B.
5．(2018·潍坊模拟)某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮12
次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期
3望是( )
A．3 C．2 8B. 35D. 3
11118
解析：选B 每个轮次甲不能通过的概率为×＝，通过的概率为1－＝，因为甲3
3399988?8?个轮次通过的次数X服从二项分布B?3，?，所以X的数学期望为3×＝.
93?9?
6.(2018·潍坊模拟)如图，六边形ABCDEF是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是( )
1
A. 42C. 3
1B. 33D. 4
解析：选C 设正六边形的中心为点O，BD与AC交于点G，BC＝1，则BG＝CG，∠BGC＝120°，在△BCG中，由余弦定理得1＝BG2
＋BG－2BGcos 120°，得BG＝
22
311333
，所以S△BCG＝×BG×BG×sin 120°＝×××＝322332
3133
，因为S六边形ABCDEF＝S△BOC×6＝×1×1×sin 60°×6＝，所以该点恰好在图中阴影部1222分的概率是1－
2
＝.
S六边形ABCDEF36S△BCG7．(2018·福州模拟)某商店随机将三幅分别印有福州三宝(脱胎漆器、角梳、油纸伞)的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与油纸伞的宣传画相邻的概率是________．
解析：记脱胎漆器、角梳、油纸伞的宣传画分别为a，b，c，则并排贴的情况有abc，
acb，bac，bca，cab，cba，共6种，其中b，c相邻的情况有abc，acb，bca，cba，共4
42
种，故由古典概型的概率计算公式，得所求概率P＝＝.
63
2答案：
3
8．(2018·唐山模拟)向圆(x－2)＋(y－3)＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率为________．
解析：如图，连接CA，CB，依题意，圆心C到x轴的距离为3，所以弦AB的长为2.1212
又圆的半径为2，所以弓形ADB的面积为×π×2－×2×3＝π－
23233，所以向圆(x－2)＋(y－3)＝4内随机投掷一点，则该点落在x13
轴下方的概率P＝－.
64π
13答案：－
64π
9．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是________．
解析：设事件A为“抽到的两张都是假钞”，事件B为“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率为P(A|B)，
C51因为P(AB)＝P(A)＝2＝，
C2019C5＋C5C1517P(B)＝＝， 2
C2038
1
192PAB所以P(A|B)＝＝＝.
PB1717
38
2
11
2
2
2
2
2
2
答案：
17
10.(2018·唐山模拟)某篮球队在某赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图．
(1)根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值μ和标准差σ；
(2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N(μ，σ)，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数．
参考数据：
32≈5.66，32.25≈5.68，32.5≈5.70.
正态总体N(μ，σ)在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率约为0.954.
112222解：(1)μ＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，σ＝[(－8)＋(－7)＋(－5)
88＋0＋2＋4＋6＋8]＝32.25.
所以σ≈5.68.
所以估计甲每场比赛中得分的均值μ为15，标准差σ为5.68. (2)由(1)得甲在每场比赛中得分在26分以上的概率
2
2
2
2
2
2
2
P(X≥26)≈[1－P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)]≈(1－0.954)＝0.023，
设在82场比赛中，甲得分在26分以上的次数为Y，则Y～B(82,0.023)．Y的均值E(Y)＝82×0.023＝1.886.
由此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数为1.886.
11．某化妆品公司从国外进口美容型和疗效型两种化妆品，分别经过本公司的两条生产线分装后进行销售，两种化妆品的标准质量都是100克/瓶，误差不超过±5克/瓶即视为合格产品，否则视为不合格产品．现随机抽取两种产品各60瓶进行检测，检测结果统计如下：
质量/克 美容型化妆品/瓶 疗效型化妆品/瓶 (1)根据上述检测结果，若从这两种化妆品中各任取一瓶，以频率作为概率，分别计算这两瓶化妆品为合格产品的概率；
(2)对于一瓶美容型化妆品，若是合格产品，则可获得的利润为a(单位：百元)，若不是合格产品，则亏损a(单位：百元)；对于一瓶疗效型化妆品，若是合格产品，则可获得的
2
1212
[90,95) 5 [95,100) 22 [100,105) 23 [105,110] 10 5 21 19 15
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