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利润为a(单位：百元)，若不是合格产品，则亏损2a(单位：百元)．那么当a为何值时，
8该公司各销售一瓶这两种化妆品所获得的利润最大？
22＋233
解：(1)由表可知，任取一瓶美容型化妆品，其为合格产品的概率为＝；
60421＋192
任取一瓶疗效型化妆品，其为合格产品的概率为＝. 603
(2)记X为任意一瓶美容型化妆品和一瓶疗效型化妆品所获得的利润之和，则X的所有4335222
可能取值为a，a－2a，a－a，－3a，
88
?43?321
则P?X＝a?＝×＝，
8?432?
P(X＝a－2a2)＝×＝，
1212??35
P?X＝a－a?＝×＝，
8??436
31
43
14
P(X＝－3a2)＝×＝，
所以随机变量X的分布列为
1143112
X P
43a 81 2a－2a2 1 435a－a2 81 6－3a 1 1224311?351111211112?22
所以E(X)＝a×＋(a－2a)×＋?a－a?×＋(－3a)×＝－a＋a＝－(a824?81212312?6112
－2)＋，
3
所以当a＝2时，E(X)取得最大值，
即当a为2时，该公司各销售一瓶这两种化妆品所获得的利润最大．
12．(2019届高三·贵阳模拟)从A地到B地共有两条路径L1和L2，经过这两条路径所用的时间互不影响，且经过L1和L2所用时间的频率分布直方图分别如图(1)和(2)．现甲选择L1或L2在40分钟内从A地到B地，乙选择L1或L2在50分钟内从A地到B地．
(1)求图(1)中a的值；并回答，为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到B地，甲和乙应如何选择各自的路径？
(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到B地的人数，针对(1)中的选择方案，求X的分布列和数学期望．
解：(1)由图(1)可得(0.01＋0.02×3＋a)×10＝1， 解得a＝0.03，
用Ai表示甲选择Li(i＝1,2)在40分钟内从A地到B地，用Bi表示乙选择Li(i＝1,2)在50分钟内从A地到B地，则P(A1)＝(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(A2)＝(0.01＋0.04)×10＝0.5，
因为P(A1)＞P(A2)，所以甲应选择L1.
又P(B1)＝(0.01＋0.02＋0.03＋0.02)×10＝0.8，
P(B2)＝(0.01＋0.04＋0.04)×10＝0.9，
因为P(B2)＞P(B1)，所以乙应选择L2.
(2)用M，N分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙两人在各自允许的时间内赶到B地，由(1)知P(M)＝0.6，P(N)＝0.9，X的可能取值为0,1,2.
由题意知，M，N相互独立， ∴P(X＝0)＝0.4×0.1＝0.04，
P(X＝1)＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42， P(X＝2)＝0.6×0.9＝0.54，
∴X的分布列为
X P 0 0.04 1 0.42 2 0.54 ∴E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5. 13．(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0 (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0. (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． ①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX； ②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检 验？ 解：(1)因为20件产品中恰有2件不合格品的概率为 218 f(p)＝C220p·(1－p)， 所以f′(p)＝C20[2p(1－p)－18p(1－p)] ＝2C20p(1－p)(1－10p)． 令f′(p)＝0，得p＝0.1. 当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0； 当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0. 所以f(p)的最大值点为p0＝0.1. (2)由(1)知，p＝0.1. ①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490. ②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元．由于EX>400，故应该对余下的产品作检验． 二、加练大题考法——少失分 1.(2018·郑州质检)为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行．市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示， (1)若甲单位数据的平均数是122，求x的值； (2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天)，记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为ξ1，ξ2，令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列和数学期望． 1解：(1)由题意知，×[105＋107＋113＋115＋119＋126＋(120＋x)＋132＋134＋141] 10＝122，解得x＝8. (2)由题得ξ1的所有可能取值为0,1,2，ξ2的所有可能取值为0,1,2，因为η＝ξ1＋ 2 17 218217 ξ2，所以随机变量η的所有可能取值为0,1,2,3,4. 因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3，乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4， C7C67 所以P(η＝0)＝22＝， C10C1045 22 C7C3C6＋C7C4C691 P(η＝1)＝＝， 22 C10C10225C3C6＋C7C4＋C7C3C6C41 P(η＝2)＝＝， 22 C10C103C3C6C4＋C7C3C422 P(η＝3)＝＝， 22 C10C10225C3C42 P(η＝4)＝22＝. C10C10225所以η的分布列为 22211 112 22 22 1111 112211 η P 0 7 451 91 2252 1 33 22 2254 2 22579112227 所以E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. 4522532252255 2．(2018·福州模拟)某学校八年级共有学生400人，现对该校八年级学生随机抽取50名进行实践操作能力测试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平的学生实践操作能力较弱，三、四等级水平的学生实践操作能力较强，测试结果统计如下表： 等级 男生/名 女生/名 (1)根据表中统计的数据填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关？ 水平一 4 6 水平二 8 8 水平三 12 4 水平四 6 2 男生/名 女生/名 总计 实践操作能力较弱 实践操作能力较强 总计 (2)现从测试结果为水平一的学生中随机抽取4名进行学习能力测试，记抽到水平一的男生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 下面的临界值表供参考： P(K2≥k0) k0 0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828
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