第十二讲 一次函数
【基础知识回顾】
一、 一次函数的定义:
一般的：如果y= （ ），那么y叫x的一次函数
特别的：当b= 时，一次函数就变为y=kx(k≠0)，这时y叫x的
【名师提醒：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，是有当b=0时，它才是正比例函数】
二、一次函数的同象及性质：
b1、一次函数y=kx+b的同象是经过点（0，b）（-k，0）的一条 ，
正比例函数y= kx的同象是经过点 和 的一条直线。
【名师提醒：因为一次函数的同象是一条直线，所以画一次函数的图象只需选取 个特殊的点，过这两个点画一条直线即可】
2、正比例函数y= kx(k≠0)，当k>0时，其同象过 、 象限，此时时y随x的增大而 ；当k<0时，其同象过 、 象限，时y随x的增大而 。
3、 一次函数y= kx+b，图象及函数性质
①、k>0 b>0过 象限
y随x的增大而
②、k>0 b<0过 象限
③、k<0 b>0过 象限
y随x的增大而
④、k<0 b>0过 象限
4、若直线l1：y= k1x+ b1与l1：y= k2x+ b2平行，则k1 k2，若k1≠k2，则l1与l2
【名师提醒：y随x的变化情况，只取决于 的符号与 无关，而直线的平移，只改变 的值 的值不变】 三、用待定系数法求一次函数解析式：
关键：确定一次函数y= kx+ b中的字母 与 的值 步骤：1、设一次函数表达式
2、将x，y的对应值或点的坐标代入表达式 3、解关于系数的方程或方程组
4、将所求的待定系数代入所设函数表达式中
四、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组
1、一次函数与一元一次方程：一般地将x= 或y 代入y= kx+ b中解一元一次方程可求求直线与坐标轴的交点坐标。
2、一次函数与一元一次不等式：kx+ b>0或kx+ b<0即一次函数图象位于x轴上方或下方时相应的x的取值范围，反之也成立 3、一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数所列二元一次方程组的解，反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标
【名师提醒：1、一次函数与三者之间的关系问题一定要结合图象去解决
2、在一次函数中讨论交点问题即是讨论一元一次不等式的解集或二元一次方程组解的问题】
五、一次函数的应用
一般步骤：1、设定问题中的变量 2、建立一次函数关系式
3、确定自变量的取值范围 4、利用函数性质解决问题 5、作答
【名师提醒：一次函数的应用多与二元一次方程组或一元一次不等式（组）相联系，经常涉及交点问题，方案设计问题等】 【重点考点例析】
考点一：一次函数的图象和性质
例1 （2017?大庆）对于函数y=-3x+1，下列结论正确的是（ ） A．它的图象必经过点（-1，3） B．它的图象经过第一、二、三象限 C．当x＞1时，y＜0
D．y的值随x值的增大而增大 对应训练 1．（2017?徐州）下列函数中，y随x的增大而减少的函数是（ ） A．y=2x+8 B．y=-2+4x C．y=-2x+8 D．y=4x 考点二：一次函数的图象和系数的关系
例2 （2017?莆田）如图，一次函数y=（m-2）x-1的图象经过二、三、四象限，则m的取值范围是（ ） A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2
例3 （2017?遵义）P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数y=-1 x图象上的两点，下列判2断中，正确的是（ ） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．当x1＜x2时，y1＜y2 D．当x1＜x2时，y1＞y2
对应训练 2．（2017?眉山）若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则函数y=cx+a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2017?福州）A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A（x+a，
y+b），B（x，y），下列结论正确的是（ ） A．a＞0 B．a＜0 C．b=0 D．ab＜0
考点三：一次函数解析式的确定
例4 （2017?常州）已知一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，-2）和点B（1，0），则k= ，b= ． 对应训练 4．（2013?重庆）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（1，-2），则这个正比例函数的解析式为（ ） A．y=2x
B．y=-2x
C．y=
1x 2D．y=-
1x 2考点四：一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系
例5 （2017?黔西南州）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（ ） A．x＜
3 2B．x＜3 C．x＞
3 2D．x＞3
例6 （2017?荆州）体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x人，进3个球的有y人，若（x，y）恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的解析式是（ ） 进球数 人数
0 1 1 5 2 x 3 y 4 3 5 2 222222x+ B．y=-x+9与y=x+
3333222222C．y=-x+9与y=- x+ D．y=x+9与y=- x+
3333A．y=x+9与y=
思路分析：根据一共20个人，进球49个列出关于x、y的方程即可得到答案．
解：根据进球总数为49个得：2x+3y=49-5-3×4-2×5=22，
整理得：y=- 222x+ ， 33∵20人一组进行足球比赛， ∴1+5+x+y+3+2=20， 整理得：y=-x+9． 故选C． 点评：本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是根据题目列出方程并整理成函数的形式．
对应训练 5．（2017?武汉）直线y=2x+b经过点（3，5），求关于x的不等式2x+b≥0的解集． 6．（2017?青岛）如图，一个正比例函数图象与一次函数y=-x+1的图象相交于点P，则这个正比例函数的表达式是 ．
考点五：一次函数综合题
例7 （2017?绥化）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点2作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x-14x+48=0的两个实数根． （1）求C点坐标； （2）求直线MN的解析式； （3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标． （1）C（0，6）； （2）∴直线MN的解析式为y=-3x+6； 4
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