【点睛】
本题考查导数的几何意义以及导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、零点等知识，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.
20．数列An：a1,a2,Lan?n?4?满足：a1?1,an?m，ak?1?ak?0或1
（k?1,2,Ln?1）．对任意i,j，都存在s,t，使得ai?aj?as?at．，其中i,j,s,t?
2L，n?且两两不相等． ?1，(I)若m?2．写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号； ①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2 (Ⅱ)记s?a1?a2?Lan．若m?3，证明：s?20； (Ⅲ)若m?2018，求n的最小值.
【答案】(Ⅰ) ②③(Ⅱ)见解析（Ⅲ）n的最小值为2026
【解析】试题分析：（Ⅰ）依据定义检验给出的数列是否满足要求条件．（Ⅱ）当m?3时，1,2,3都在数列中出现，可以证明1,3至少出现4次，2至少出现2次，这样
S?20． （Ⅲ）设1,2,L,2018出现频数依次为q1,q2,L,q2018．同（Ⅱ）的证明，
可得：q1?4，q2?2，q3?1，┄，q2016?1，q2017?2，q2018?4，则n?2026，我们再构造数列：
Bn:1,1,1,1,2,2,3,4,L,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018，证明该数列
满足题设条件，从而n的最小值为2026．
解析：（Ⅰ）对于①，a1?a2?1,a1?a2?2，对于2?s?t，as?at?3或as?at?4，不满足要求；对于②，若ai?aj?2?i?j?，则a5?i?a5?j?2，且i,j,5?i,5?j彼此相异，若ai?aj?3?i?j?，则a9?i?a9?j?3，且i,j,9?i,9?j彼此相异，若
ai?aj?4?i?j?，则a9?i?a9?j?4，且i,j,9?i,9?j彼此相异，故②符合题目条件；
同理③也符合题目条件，故符合题目条件的数列的序号为②③．
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注：只得到 ② 或只得到 ③ 给[ 1分]，有错解不给分．
（Ⅱ）当m?3时，设数列An中1,2,3出现频数依次为q?,q?,q?，由题意
qi?1?i?1,,2,3?．
① 假设q1?4，则有a1?a2?as?at（对任意s?t?2），与已知矛盾，所以q1?4．同理可证：q3?4．
② 假设q2?1，则存在唯一的k??1,2,3,L,n?，使得ak?2．那么，对?s,t，有
a1?ak?1?2?as?at（k,s,t两两不相等），与已知矛盾，所以q2?2.
综上：q1?4，q2?2，q3?4，所以S?4?1?4?3?4?20．
（Ⅲ）设1,2,L,2018出现频数依次为q1,q2,L,q2018．同（Ⅱ）的证明，可得：q1?4，
q2?2，q3?1，┄，q2016?1，q2017?2，q2018?4，则n?2026．
取q1?q2018?4,q2?q2017?2,qi?1,i?3,4,5,L,2016得到的数列为：
Bn:1,1,1,1,2,2,3,4,L,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018
下面证明Bn满足题目要求．对?i,j??1,2,3,L,2016?，不妨令ai?aj， ① 如果ai?aj?1或ai?aj?2018，由于q1?q2018?4，所以符合条件；
② 如果ai?1,aj?2或ai?2017,aj?2018，由于q1?4,q2018?4,q2?2,q2017?2，所以也成立；
③ 如果ai?1,aj?2， 则可选取as?2,at?aj?1；同样的，如果ai?2017,aj?2018，则可选取as?ai?1,at?2017，使得ai?aj?as?at，且i,j,s,t两两不相等； ④ 如果1?ai?aj?2018，则可选取as?ai?1,at?aj?1，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意i,j，总存在s,t，使得ai?aj?as?at，其中i,j,s,t??1,2,3,L,2026?且两两不相等．因此Bn满足题目要求，所以n的最小值为2026．
点睛：此类问题为组合最值问题，通常的做法是先找出变量的一个范围，再构造一个数列，使得前述范围的等号成立，这样就求出了最值．
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