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北师大版九下数学《第2章 二次函数》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（ ） A．a≠0
B．a≠2
C．a＜2
D．a＞2
【分析】根据二次函数的定义即可得．
【解答】解：∵函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数， ∴2﹣a≠0，即a≠2， 故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
2． 二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．
【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c）， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除B、C；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D； 当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A正确； 故选：A．
【点评】考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
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3．抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（ ） A．（﹣2，1）
B．（﹣2，﹣1） C．（2，1）
D．（2，﹣1）
【分析】二次函数表达式中的顶点式是：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x＝h，顶点坐标是（h，k）．
【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1）． 故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，要求掌握顶点式中的对称轴及顶点坐标．
4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0， 与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0， 对称轴为x＝∵a＜0， ∴2a+b＜0，
而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0， 当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0， 当x＝1时，a+b+c＝2． ∵
＞2，
＜1，
∴4ac﹣b2＜8a， ∴b2+8a＞4ac，
∵①a+b+c＝2，则2a+2b+2c＝4， ②4a+2b+c＜0，
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③a﹣b+c＜0．
由①，③得到2a+2c＜2，
由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8， 上面两个相加得到6a＜﹣6， ∴a＜﹣1． 故选：D．
【点评】考查二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等． 5．抛物线y＝x2﹣4x+1与y轴交点的坐标是（ ） A．（0，1）
B．（1，O）
C．（0，﹣3）
D．（0，2）
【分析】抛物线与y轴相交时，横坐标为0，将横坐标代入抛物线解析式可求交点纵坐标． 【解答】解：当x＝0时，y＝x2﹣4x+1＝1， ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）， 故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与坐标轴交点坐标的求法．令x＝0，可到抛物线与y轴交点的纵坐标，令y＝0，可得到抛物线与x轴交点的横坐标．
6．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ） A．y＝2x2+3
B．y＝2x2﹣3
C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位所得直线解析式为：y＝2（x+3）2； 故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
7．函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（ ） A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
【分析】抛物线y＝（x+1）2﹣2开口向上，有最小值，顶点坐标为（﹣1，﹣2），顶点的纵坐标﹣2即为函数的最小值．
【解答】解：根据二次函数的性质，当x＝﹣1时，二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的最小值是﹣2． 故选：D．
【点评】本题考查对二次函数最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由
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图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
8．对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（ ） A．y＝﹣2x2+8x+3 C．y＝﹣2x2+8x﹣5
B．y＝﹣2x?2﹣8x+3 D．y＝﹣2x?2﹣8x+2
【分析】已知抛物线的顶点坐标，把经过的点的坐标代入顶点坐标式求出系数则可． 【解答】解：根据题意，设y＝a（x﹣2）2+3，抛物线经过点（3，1），所以a+3＝1，a＝﹣2．
因此抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣2）2+3＝﹣2x2+8x﹣5． 故选：C．
【点评】本题考查利用待定系数法设抛物线的顶点坐标式求抛物线的表达式． 9．把二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列变形正确的是（ ） A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x﹣1）2+5 D．y＝（x﹣1）2+3 【分析】利用配方法整理即可得解． 【解答】解：y＝x2﹣2x+4， ＝x2﹣2x+1+3， ＝（x﹣1）2+3． 故选：D．
【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
10．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ） A．k＞﹣1
B．k≥﹣1
C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点 ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0 ∴k＞﹣1
∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数 ∴k≠0
则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．
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