天津科技大学2014-2015线性代数期末考试考点及习题

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4. 如果A~B,则A-1~B-1，AT~BT

5.E~E,kE~kE

例1设A、B、C为n阶方阵，A~B，B~C，则A、C的关系不正确的是( D ).

(A) A~C； (B) A?C； (C) A?C； (D) A?C.

?12?例2. 与矩阵A???不相似的矩阵是（ C ）.

03???10?(A) ??； (B)

23???35???； (C) 01???11???； (D) 33???21???. 12??三、（10分）矩阵乘法，转置，行列式计算。

?1?23???例1.已知，B???130?，求：(1) ABT；(2) ?3A. ?052????10?1??1?10???2?1?2???????解：(1) ABT??214???235???12113?；

??325??302??8920???????10?1 (2) ?3A?(?3)3A??27214?270.

?325四、（10分）求解矩阵方程。

?12?1?T012???，

例 1.解矩阵方程AX?B，其中A??34?2??B??123?.

???5?41????12?101??12?101??10010???????解：?A|B???34?2 12???0?211?1???0?211?1?

?5?4123??0?1462?2??00?1?55????????10??10010??10010???????1???0?20?44???0102?2?，故A可逆，且X?AB??2?2?.

?5?5??00?1?55??0015?5???????五、（10分）求非齐次线性方程组的通解

（要求用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解）。

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?x1?x2?x3? x4?x?x?x? x?4例1.求非齐次线性方程组?123?x1?x2?x3?2x4??x1?x2?x3?3x4础解系表示通解）.

解：对增广矩阵施行初等行变换： ?11?11?1?11?1(A|b)???11?12??1?11?31??1??1??0?0??0??3??01?11?10000?1?1的通解（用对应的齐次线性方程组的基?0?311??10?（3分）

1?1??00??1?0???0??0001?1000001??01?（5分）

1?1??00?T对应齐次线性方程组的一个基础解系为ξ??0,1,1,0?（7分），所求方程组的一个特解为，于是所求方程组的通解为x?kξ?η，k?R.（10分） ???1,1,0,?1?（9分）

T例2.求线性方程组?解系表示通解）.

?x1 ?x2?2x3?4x4?5的通解. （用对应的齐次线性方程组的基础

??2x1?2x2?4x3?5x4??4解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，得

?1?1245??1?1245??1?120?3?(A|b)????????? ?22?4?5?40003600012??????对应齐次线性方程组的一个基础解系为ξ1??1,1,0,0?, ξ2???2,0,1,0?，所求方程组的一个特解为????3,0,0,2?，于是所求所求方程组的通解为x?k1ξ1?k2ξ2?η，k1,k2?R.

TTT六、（10分）求向量组的秩，极大无关组，并把不属于这个向量组的其余向量用极大无关组线性表示。

要点：1.所给的向量是列向量，直接使用初等行变换

2.所给的向量是行向量，需要先转置，再进行初等行变换

例1. 求向量组 ?1?(1,?2,3,?1)，?2?(3,?1,5,?3)，?3?(2,1,2,?2)，

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?4?(1,3,?1,?1)的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表

示.

T 解：对A??1??2T?3T?4T?进行初等行变换，得

310021001??1??1??0?0??0??0??00?1?2??111?（5

000??000?分）

?1321??1321??1??????2?1130555???????0?352?1??0?4?4?4??0??????1?3?2?10000?????0于是向量组的秩为2，（6分）它的一个极大无关组为α1, α2，（8分）且有α3??α1?α2，

α4??2α1?α2 (10分)

例2.求向量组 ?1?(1,?2,?1)T，?2?(?1,2,1)T，?3?(2,1,8)T，?4?(?3,1,?7)T的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.

解：对A???1?2?3?4?进行初等行变换，得

?100010?1??1??0???12?3??1?12?3??1?12?3??1?1??2211???005?5???001?1?(3分)??0?????????118?7??0010?10??0000??0???????（5分）

于是向量组的秩为2，（6分）它的一个极大无关组为α1, ?3，（8分）且有α2???1 ，

α4???1??3(10分).

七、（10分）用施密特正交化方法把向量组正交化.（不需要单位化，只包含两个或者三个向量）

例1 用施密特正交化方法把线性无关的向量组

?1??1??1??,???1?，???1?正交化. 0 ?1??23??????????0???0???1??解：取?1=?1（2分）

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?0?(?2,?1)?2=?2??（??1? （6分） 14分）??(?1,?1)??0???0?(?,?)(?,?)?3=?3?31?1?32?（??0?（10分） 28分）??(?1,?1)(?2,?2)??1??例2用施密特正交化方法把线性无关的向量组

?1?(1,0,0,0)T，?2?(1,1,0,0)T?3?(1,1,1,0)T正交化.

解：令?1??1?(1,0,0,0)T（2分）

?1??1??0???????1101(?2,?1)?2??2??1?????????（6分）

?0?1?0??0?(?1,?1)???????0??0??0??1??1??0??0?????????1?1?0?1?1??0?(?3,?1)(?3,?2)?（10分） ?3??3??1??2?????1?1?0?1?0??1?(?1,?1)(?2,?2)?????????0??0??0??0?八（12分）已知一个二阶实对称矩阵A，求矩阵A的特征值与特征向量，并求一个正交矩阵P，把矩阵A对角化。

?13?例1. 设矩阵A???

?31?(1)求矩阵A的特征值与特征向量(6分)； (2)求可逆矩阵P，使得PAP为对角矩阵(6分). 解：?E?A??1??1?3?3??2?2??8?(??2)(??4)，特征值为?1??2, ?2?4. ??1?3?3??x1??0???1?对于?1??2，解方程组(?2E?A)x?0，即???3?3??x???0?，得特征向量p1??1?，

?????2???3?3??x1??0??1?对于?2?4，解方程组(4E?A)x?0，即???33??x???0?，得特征向量p2??1?，令

?????2?????11?，则为正交矩阵，且P?1AP???20?.

PP???04??11????例2.（共12分）设矩阵A??

?12??， ?21?8

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(1)求矩阵A的特征值与特征向量(6分)； (2)求正交矩阵P，使得PAP为对角矩阵(6分). 解：(1)

?1?E?A???1?2?2?(??1)(??3)，特征值?1??1，?2?3（2分） ??1??2?2??11?????，得到基础

??2?2??00?对?1??1，求解方程组(?E?A)x?0：?E?A??解系为p1??（4分）；

??1?，故矩阵A的属于特征值?1??1的全部特征向量为k1p1(k1?0)?（3分）

?1?对?2?3，求解方程组(3E?A)x?0：3E?A???2?2??1?1?????，得到基础

??22??00?解系为p2???（5分），故矩阵A的属于特征值?2?3的全部特征向量为k2p2(k2?0（6分）.

(2) 将向量p1,p2单位化，得e1??1??1?1??1?1?1?1??11?，（8分），令e?P???2????2?1?2?1?2?11???1?（10分），则P为正交矩阵，且PAP???（12分）.

3???1九、（8分）解的结构。（可能是计算）

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