2019年浙江省台州市临海市中考数学一模试卷(解析版)

∴BN＝＝＝；

②当BN为最大线段时，

∵点M、N是线段AB的勾股分割点， ∴BN＝综上所述：BN＝故答案为：

＝或 5；

＝5，

或 5；

（2）如图2，设BM＝x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵E为BC的中点， ∴BE＝CE＝AD， ∵AD∥BE， ∴△AMD∽△EMB， ∴

∴DM＝2x，

设DN＝a，则MN＝2x﹣a，

∵点M，N为线段BD的勾股分割点时，存在三种情况： ①当BM为斜边时，得：BM2＝MN2+DN2， x2＝（2x﹣a）2+a2， 3x2﹣4ax+2a2＝0，

△＝16a2﹣24a2＝﹣8a2＜0， 此方程无实数解；

②当MN为斜边时，得：MN2＝BM2+DN2， （2x﹣a）2＝x2+a2， x＝0（舍）或a，

∴BN＝x+2x﹣a＝3x﹣a＝3×a﹣a＝3a， ∵AB∥DF，

，

∴∴

， ，DF＝7；

③当DN为斜边时，得：DN2＝BM2+MN2， x2＝（2x﹣a）2+a2， x＝0（舍）或a， ∴BN＝3x﹣a＝∵AB∥DF， ∴

，

﹣a＝a，

∴，DF＝15，

综上，DF的长为7或15；

（3）①PC的长度是定值2，理由是：

如图中，连接PA、PN，将△MPA绕点P逆时针旋转90°得△PNF，将△PAC绕点P逆时针旋转90°得△PFE．则∠1＝∠3，∠2＝∠4，

∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝2， ∴AB＝2

，∠CAB＝∠CBA＝45°，

∵AC∥PM，BC∥PN， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4， ∴EF∥BN， ∴EF∥BN∥BC， ∵AC＝BC＝EF，

∴四边形EFBC是平行四边形，

∴EC＝BF，

∵∠ANM＝∠PNF＝45°， ∴∠BNF＝90°， ∴BF2＝BN2+FN2，

∵点A，B恰好是线段MN的勾股分割点（AB＞AM≥BN）， ∴AB2＝AM2+BN2， ∴BF＝AB＝CE＝2

，

由旋转得：PC＝PE，∠CPE＝90°， ∴△CPE是等腰直角三角形， ∴CP＝

＝2；

②如图3，过C作CV⊥AB于V，过P作PU⊥AB于U，

∴CV＝AB＝，

，MN＝2PU，

）2＝6+4

；

由题意得：PU≤PC+VC＝2+

∴S△PMN＝?MN?PU＝?2PU?PU＝PU2＝（2+则△PMN面积的最大值是6+4

．

【点评】本题是四边形的综合题，考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、旋转等知识，利用旋转法添加辅助线是解决问题的关键．