【学习目标】
1．能以两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
2．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.
【要点梳理】
要点一：两角和的余弦函数
cos(???)?cos?cos??sin?sin? C?????
要点二：两角和与差的正弦函数
sin(???)?sin?cos??cos?sin? S(???)
在公式S(???)中用??代替?，就得到：
sin(???)?sin?cos??cos?sin? S(???)
要点诠释：
(1)公式中的?、?都是任意角；
(2)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如
sin?2?????sin2?cos??cos2?sin??0?cos??1?sin???sin?
当?或?中有一个角是
?的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便； 2(3)使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简
sin?????cos??cos?????sin?时，不要将sin?????和cos?????展开，而应采
用整体思想，进行如下变形：
sin?????cos??cos?????sin??sin????????????sin?
要点三：两角和与差的正切函数
利用已有的和(差)角的正弦、余弦以及同角关系式推导.
tan(???)?tan??tan? T?????
1?tan?tan?tan??tan? T?????
1?tan?tan? tan(???)?要点诠释：
公式成立的条件是：
???2?k?,???2?k?,?????2?k?或?????2?k?，其中k?Z；
2．重视角的变换
三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有：
??(???)??;????(???)；??(2???)?(???)；??等，常见的三角变换有：切化弦、1?sin??cos?等． 【合作探究】
探究一：两角和与差的三角函数公式的正用 例1．已知sin??221?(???)?(???)?245???，???,??，cos???，?是第三象限角，求cos(???)、513?2?sin(???)、sin(???)的值．
【思路点拨】利用同角三角函数关系式确定cos?、sin?的值，然后利用两角和与差的余弦、正弦公式求值． 【解析】 由sin??4???，???,??得 5?2?234?4?cos???1?sin2???1?????，tan???
53?5?又由cos???5，?为第三象限角得 13221212?5?sin???1?cos???1?????，tan??
135?13?∴cos(???)?cos?cos??sin?sin?????????3??5?4?12?63． ??????51351365??????45?3??12?16sin(???)?sin?cos??cos?sin?=?(?)???????? =
513?5??13?6545?3??12?56sin(???)?sin?cos??cos?sin?=?(?)???????? =?
513?5??13?65【总结升华】已知?，?的某种三角函数值，求???的正弦或余弦，先要根据平方关系求出?、?的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的余弦公式中，求出和角或差
角的余弦．
【变式1】（1）tan(???)?21,tan(???)?,求tan2?的值； 54（2）已知?,???3?12??3??,??,sin(???)??,sin(??)?,求cos(??)的值．
54134?4?【思路点拨】（1）分析所给的两个已知角???,???和所求的角2?之间有关系（2）??(???)?(???)?2?．
??(???)?(??)．
44tan(???)?tan(???)
1?tan(???)tan(???)?【解析】（1）tan2??tan?(???)?(???)??21?54?13 =
21181??54(2)?,???又
??3??3???3??,??,??????,2??,???(,),
424?4??2?34sin(???)??,?cos(???)?;55?12?5sin(??)?,?cos(??)??.
413413
????cos(??)?cos?(???)?(??)?44??)?sin(???)sin(??)
444531256 =?(?)?(?)???
51351365=cos(???)cos(????【总结升华】此类题目重在考察所给已知角与所求角之间的运算关系，主要是指看两角之间的和、差、倍的关系，如(???)?(???4)????4，
??(???)??,2??(???)?(???)等，找到它们的关系可以简化运算，同时在求三
角函数值时应关注函数值的符号．
探究二：两角和与差的三角函数公式的逆用及变形应用
例2．计算下列各式的值：
（1）cos12cos18?sin12sin18； （2）3?tan15?；
1?3tan15?（3）tan17??tan28??tan17?tan28?．
【思路点拨】注意两角和差公式的逆用和变形．
【解析】 （1）cos12cos18?sin12cos72=cos12cos18?sin12sin18
=cos(12?18)= cos30=3. 2（2）3?tan15?tan60??tan15???tan(60??15?)?tan45??1． 1?tan60?tan15?1?3tan15???tan17??tan28?（3）∵tan(17?28)?
1?tan17?tan28?∴tan17?+tan28?=tan(17?+28?)(1?tan17?tan28?)=1? tan17?tan28? ∴原式=1? tan17?tan28?+ tan17?tan28?=1
【总结升华】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构．以上题目是给角求值问题，应首先看角的关系：先从所给角的关系入手，观察所给角的和、差、倍（下一节学习）是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口．公式
tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?的变形
ta??n?t?an??t?an?(应予以灵活运用． ??【课外作业】
1．sin20cos40?cos20sin40的值等于（ B ）
A．
3311 B． C． D．
24422． 已知tan(???)?A．
13 183 32?1?,tan(??)?,则tan(??)的值等于 （ B ）
45443133B． C． D．
2222183 23．tan 15°＋tan 30°＋tan 15°·tan 30°的值是（ A ） A．1 B．
C．3 D．
4．已知?,?为锐角，且cos?=
111 cos (???)= －, 则cos?=_________． 714【解析】∵ ?为锐角，且cos??4312，∴ sin??1?cos??．
77又∵? 、? 均为锐角，∴ 0＜??? ＜π，且cos(???)??211， 14∴ sin(???)?1?cos(???)?53． 14
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