安徽省蚌埠市2020届高三数学下学期第四次教学质量检测试题理

安徽省蚌埠市2020届高三数学下学期第四次教学质量检测试题 理

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。 1. 已知z·i＝2－i，则复数z在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2

2. 已知集合A＝{－6，－3，－2，1，2，3，5}，B＝{x|5x＋6≥x，x∈Z}，则A∩B＝

A．{6，－3，－2} B．{2，3) C．{1，5} D．{1，2，3，5} 3. 已知命题p：?x∈(0，

A．?x∈(0，C．?x0(0，

?)，x＞sinx，则?p为 2

B．?x∈(0，

?)，x≤sinx 2?)，x＜sinx 2??)，x0＜sinx0 D．?x0∈(0，)，x0≤sinx0 221－0.3

4. 已知a＝log3，b＝－2log12，c＝3，则

33A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a

5. 2019年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强

的韧性。今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，右图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述错误的是

A．这五年，2015年出口额最少 B．这五年，出口总额比进口总额多 C．这五年，出口增速前四年逐年下降 D．这五年，2019年进口增速最快

8000 60%

6000 40%

4000 20%

2000 0% 0 －20% 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 出口额 进口额 出口增率 进口增率

6. 函数f(x)＝(tanx＋x)ln|x|在(－

y ??，0)∪(0，)内的图象大致是 22y y y -1 O 1 x -1 O 1 x -1 O 1 x -1 O 1 x A

2

B C D

y222

7. 已知双曲线C：x－2＝1(b＞0)右焦点为F，圆x＋y＝1与双曲线C的渐近线在第一象限内的交点为

bM，△OMF面积为2，则双曲线C的渐近线方程为

22A．y＝±22x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x

24uuurruuuruuuruuuuuuryAC8. 在△ABC中，D为BC上一点，E为线段AD的中点，若2BD＝DC，且BE＝xAB＋，则x＋y＝

1

2111A．－ B．－ C． D．－

32339. 北京2022年冬奥会和冬残奥会色彩系统的主色包括霞光红、迎春黄、天霁蓝、长城灰、瑞雪白；间色

包括天青、梅红、竹绿、冰蓝、吉柿；辅助色包括墨、金、银。若各赛事纪念品的色彩设计要求：主色至少一种、至多两种，间色两种、辅助色一种，则某个纪念品的色彩搭配中包含有瑞雪白、冰蓝、银色这三种颜色的概率为

8212A． B． C． D．

225451515110. 已知函数f(x)＝3sinx＋cosx(x∈R)，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐

2标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动

?个单位长度，得到y＝g(x)的图象，则以下关于函6数y＝g(x)的结论正确的是

A．若x1，x2是g(x)的零点，则x1－x2是2π的整数倍 B．函数g(x)在区间[－C．点(

??，]上单调递增 44D1

B1

C1

3?，0)是函数g(x)图象的对称中心 4?A1 D．x＝是函数g(x)图象的对称轴

311. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为4，P是AA1中点，过点D1作平面α，满足CP⊥平面α，

则平面α与正方体ABCD－A1B1C1D1的截面周长为

A．45＋62

B．122

A

D

B

C

C．82＋8 D．85 2

12. 已知O为坐标原点，抛物线C：y＝2px上一点，A到焦点F的距离为4，若点M为抛物线C准线上的动

点，给出以下命题：

①当△MAF为正三角形时，p的值为2；

uuuruuuur②存在M点，使得MA－MF＝0；

uuuuruuur③若MF＝3FA，则p等于3；

④|OM|＋|MA|的最小值为213，则p等于4或12。 其中正确的是

A．①③④ B．②③ C．①③

D．②③④

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若直线y＝x＋a是曲线y＝ln(2x)的切线，则实数a＝____________。

183

14. (x＋1)(2020＋x＋1)的展开式中，x的系数为__________(用数字回答)。

x15. 已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(－x)＝f(2＋x)，且在[1，2]上的表达式为f(x)＝2x－2，则函数

?logx，x 0＞

f(x)与g(x)＝?2的图象的交点的个数为__________。

－x，x 0≤ ?16. 在△ABC中，设角A、B、C的对边分别是a、b、c，若sinB＝

为__________。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共60分。

1117. (12分)已知数列{an}和{bn}，a1＝2，－＝1，an?1＝2bn，

anbnsinA＋sinC11，则＋的最小值2sinAsinC 2

(1)证明：{(2)若cn＝

1－2}是等比数列； bnbnbn?1，求数列{cn}的前n项和Sn。 2

18. (12分)某省为迎接新高考，拟先对考生某选考学科的实际得分进行等级赋分，再按赋分后的分数从高

分到低分划A、B、C、D、E五个等级，考生实际得分经赋分后的分数在30分到100分之间。在等级赋分科学性论证时，对过去一年全省高考考生的该学科成绩重新赋分后进行分析，随机抽取2000名学生的该学科赋分后的成绩，得到如下频率分布直方图：(不考虑缺考考生的试卷)

2

附：若X～N(μ，σ)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，

P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974，

213＝14.59，∑(xi－x)pi＝213

(1)求这2000名考生赋分后该学科的平均x(同一组中数据用该组区间中点作代表)；

2

(2)由频率分布直方图可以认为，学生经过赋分以后的成绩X服从正态分布X～N(μ，σ)，其中 μ近似为样本平均数x，σ近似为样本方差s： (i)利用正态分布，求P(50.41＜X＜79.59)；

(ii)某市有20000名高三学生，记Y表示这20000名高三学生中赋分后该学科等级为A等(即 得分大于79.59)的学生数，利用(i)的结果，求EY。

19. (12分)如图，等腰直角三角形ABC所在的平面与半圆弧AB所在的平面垂直，AC⊥AB，

P是弧AB上一点，且∠PAB＝30°。 (1)证明：平面BCP⊥平面ACP；

(2)若Q是弧AP上异于A、P的一个动点，当三棱锥C－APQ体积 A 最大时，求二面角A－PQ－C的余弦值。 C

x2y220. (12分)已知M是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)上一点，F1、F2分别为椭圆C的左、

ab右焦点，且|F1F2|＝2，∠F1MF2＝

2

2

2

Q

P

B

?，△F1MF2的面积为3。 3(1)求椭圆C的方程；

(2)直线l过椭圆C右焦点F2，交该椭圆于A、B两点，AB中点为Q，射线OQ交椭圆于P，记 △AOQ的面积为S1，△BPQ的面积为S2，若S2＝3S1，求直线l的方程。

21. (12分)已知函数f(x)＝ex－1－asinx(a∈R)。

(1)当x∈[0，π]时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；

3

(2)当a＝1时，数列{an}满足：0＜an＜1，an?1＝f(an)，求证：{an}是递减数列。 (参考数据：sin1≈0.84)

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22. 【选修4－4：坐标系与参数方程】(10分)

在直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，其中A(2，0)、C(0，2)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为ρ＝2cosθ。 (1)求曲线E的直角坐标方程和直线AC的极坐标方程；

(2)点Q是曲线E上的动点，求|QA|2＋|QC|2

的取值范围。

23. 【选修4－5：不等式选讲】(10分)

已知函数f(x)＝|2x－1|－2|x－a|。 (1)若a＝－1，求f(x)的最大值；

(2)若f(x)－2≤0恒成立，求a的范围。

4

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